Matrici Irriducibili

[Edivad79]

Salve a tutti

Premetto che la mia preparazione di Algebra Matriciale non è delle migliori, ho i rudimenti fondamentali, Vi chiedo se possibile una definizione accurata di Matrice Irriducibile ho già consultato Wikipedia ma la definizione data non mi è completamente chiara in particolare vorrei qualche delucidazione maggiore circa la definizione secondo la quale In alcuni contesti, una matrice riducibile è una matrice \(A\) per cui esiste una matrice di permutazione \(P\) tale che \(PAP^{-1}\) è triangolare a blocchi,

vi ringrazio in anticipo per qualsiasi aiuto

[hamming_burst]

Ciao,
contesto in cui hai trovato la definizione? Perchè come avrai anche trovato su wiki ha più caratterizzazioni.

[Edivad79]

Grzie innanzitutto per il tuo intervento

Si tratta della definizione data in wikipedia http://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_irriducibile in particolare in questa pagina il terz'ultimo rigo dà la definizione che ho dato prima e visto che sono interessato al contesto dei grafi (un grafo è detto irriducibile se la matrice di adiacenza associata risulta anch'essa irriducibile cosa che si verifica se e solo se il grafo risulta fortemente connesso) e per quanto ho potuto trovare in giro in rete (molto poco a dire la verità) credo di intuire che nel caso dei grafi il concetto di riducibilità sia da ricondurre all'esistenza di una matrice di permutazione

[Deckard1]

Prova a pensarci: se il grafo non è fortemente connesso allora ci saranno più componenti connesse; possiamo quindi permutare i vertici in maniera tale che ciascuna componente corrisponderà ad una sottomatrice quadrata, ad un "blocco" sulla diagonale. Inoltre se provi a ordinare le componenti fortemente connesse in base alla relazione $ C_1 rarr C_2 $, che significa che esiste un vertice $v_1 in C_1$ e un vertice $v_2 in C_2$ t.c. $(v_1,v_2)$ è un lato del grafo, allora la matrice sarà triangolare a blocchi. Ti lascio verificare il perché.

[Edivad79]

Ciao

Chiarissimo grazie ho verificato anche per quanto riguarda il fatto che si tratti proprio di una matrice triangolare a blocchi anche se solo empiricamente con un esempio molto semplice, intuisco chiaramente che è sempre possibile ricondurre il tutto ad una matrice di questo tipo ma non ne ho ben chiaro il perchè teorico, in ogni caso ho verificato anche che a seconda di come si riordinano le componenti connesse si può ottenere una matrice triangolare superiore o inferiore, quindi in ultima analisi per riducibilità della matrice si intende riducibilità ad una matrice triangolare o ad una matrice a blocchi? scusa quest'ultima domanda ma vorrei fissare ben in mente il concetto. Grazie ancora mi hai illuminato!!

[Deckard1]

Non è esattamente una matrice triangolare perché le matrici quadrate che rappresentano le componenti fortemente connesse sono "a cavallo" della diagonale. Per questo si dice matrice triangolare a blocchi.

[Edivad79]

Scusa in effetti quando dicevo matrice triangolare nel mio ultimo post sottointendevo in effetti triangolare a blocchi...

Ora mi è tutto chiaro Grazie ancora!!

Adesso devo mdificare il titolo del post aggiungendo "risolto" al titolo del primo post purtroppo sono nuovo e non mi pare di aver letto nulla nel regolamento circa la chiusura degli argomenti?