Matrici invertibili, antisimmetriche e isomorfismi

[VictoriaBathory]

Salve a tutti, ho dei dubbi su alcune questioni teoriche e spero che qualcuno possa aiutarmi
-Una matrice A con determinante nullo PUO' non avere inversa oppure NON HA MAI inversa? Io direi che non ha mai inversa, però ho trovato un esercizio sul mio libro di testo che chiedeva di dimostrare che una matrice con determinante nullo PUO' non avere inversa, dunque ho iniziato a dubitare

-Se A e B sono due matrici antisimmetriche, il loro prodotto AB è a sua volta una matrice antisimmetrica? A me pare di no, perchè mi trovo ad applicare il principio che il prodotto tra matrici non è generalmente commutativo...

-Dire se quest'affermazione è vera o falsa e darne accurata motivazione:
Se f è un isomorfismo tra V e W, allora esistono due basi opportune in cui la matrice associata ad f è la matrice identità. Penso proprio di sì, ma non saprei da dove iniziare per una dimostrazione in qualche modo formale.

Ringrazio anticipatamente per le risposte.

[Seneca1]

"VictoriaBathory":
-Una matrice A con determinante nullo PUO' non avere inversa oppure NON HA MAI inversa? Io direi che non ha mai inversa, però ho trovato un esercizio sul mio libro di testo che chiedeva di dimostrare che una matrice con determinante nullo PUO' non avere inversa, dunque ho iniziato a dubitare

Una matrice quadrata $A$ è invertibile se e solo se il suo determinante è diverso da $0$.

Quindi se il determinante è nullo la matrice in questione non è invertibile.