Matrici- forma di jordan- forma di schur
Ciao, sto facendo degli esercizi di algebra lineare. Ne posto uno e vorrei sapere se ho fatto bene.
Traccia:
Si dica quante e quali sono le matrici di ordine 6, non simili fra di loro, il cui polinomio caratteristico è dato da
$P(lambda)=(3-lambda)^4(1-lambda)^2$ e per ogni matrice si scriva il polinomio minimo.
Soluzione:
Innanzitutto ho inteso "quante e quali sono le matrici" come quante e quali sono le classi di similitudine di matrici.
In questo caso una risposta è fornire un insieme di rappresentanti e quindi nella fattispecie elenco le forme di jordan possibili di queste matrici.
Allora la generica matrice A con polinomio caratteristico P ha forma di Jordan J, matrice diagonale a blocchi, con due blocchi: J1 di ordine 4 e J2 di ordine 6.
Il polinomio caratteristico di J1 è $P1(lambda)=(3-lambda)^4$ e quindi J1 ha il solo autovalore 3 con molteplicità algebrica 4 e J2 ha polinomio caratteristico $P2(lambda)=(1-lambda)^2$ e quindi J2 ha l'autovalore 1 con molteplicità algebrica 2.
Sia $g(lambda_i)$ la molteplicità geometrica dell'autovalore $lambda_i$. Ci sono i seguenti casi:
- $g(3)$=1 quindi J1 è costituita da 1 solo blocco (3 sulla diagonale, 1 sulla sopradiagonale, 0 altrove). Il polinomio minimo di J1 è in tal caso $m1(lambda)=(3-lambda)^4$
- $g(3)$=2 quindi J1 è costituita da 2 blocchi. Ho due sottocasi:
1) 1 blocco di ordine 3 ed 1 di ordine 1. Il polinomio minimo di J1 è in tal caso $m1(lambda)=(3-lambda)^3$
2) 2 blocchi di ordine 2. $m1(lambda)=(3-lambda)^2$
- $g(3)$=3 quindi J1 è costituita da 3 blocchi, due di ordine 1 e 1 di ordine 2. $m1(lambda)=(3-lambda)^2$
- $g(3)$=4 quindi J1 è costituita da 4 blocchi di ordine 1 ( cioè $J1=3Id$). $m1(lambda)=(3-lambda)$
Stesso discorso per J2:
- $g(1)$=1 quindi J2 è costituita da 1 blocco e il polinomio minimo di J2 è $m2(lambda)=(1-lambda)^2$
- $g(1)$=2 quindi J2 è costituita da 2 blocchi ($J2=2Id$) e il polinomio minimo di J2 è $m2(lambda)=(1-lambda)$
In conclusione ci sono 10 classi di similitudine e il polinomio minimo di ogni matrice di ottiene come prodotto $m=m1m2$.
Ora vorrei sapere se ho fatto giusto. E' vero che il polinomio minimo del generico blocco Ji si ottiene come $(lambda_i-lambda)^k$ dove k è l'ordine del sottoblocco più grande? Poi vorrei capire se questo esercizio si può risolvere anche usando la forma di schur al posto di quella di jordan e se sì come.
Grazie a chi mi risponderà e buone vacanze a tutti.
Traccia:
Si dica quante e quali sono le matrici di ordine 6, non simili fra di loro, il cui polinomio caratteristico è dato da
$P(lambda)=(3-lambda)^4(1-lambda)^2$ e per ogni matrice si scriva il polinomio minimo.
Soluzione:
Innanzitutto ho inteso "quante e quali sono le matrici" come quante e quali sono le classi di similitudine di matrici.
In questo caso una risposta è fornire un insieme di rappresentanti e quindi nella fattispecie elenco le forme di jordan possibili di queste matrici.
Allora la generica matrice A con polinomio caratteristico P ha forma di Jordan J, matrice diagonale a blocchi, con due blocchi: J1 di ordine 4 e J2 di ordine 6.
Il polinomio caratteristico di J1 è $P1(lambda)=(3-lambda)^4$ e quindi J1 ha il solo autovalore 3 con molteplicità algebrica 4 e J2 ha polinomio caratteristico $P2(lambda)=(1-lambda)^2$ e quindi J2 ha l'autovalore 1 con molteplicità algebrica 2.
Sia $g(lambda_i)$ la molteplicità geometrica dell'autovalore $lambda_i$. Ci sono i seguenti casi:
- $g(3)$=1 quindi J1 è costituita da 1 solo blocco (3 sulla diagonale, 1 sulla sopradiagonale, 0 altrove). Il polinomio minimo di J1 è in tal caso $m1(lambda)=(3-lambda)^4$
- $g(3)$=2 quindi J1 è costituita da 2 blocchi. Ho due sottocasi:
1) 1 blocco di ordine 3 ed 1 di ordine 1. Il polinomio minimo di J1 è in tal caso $m1(lambda)=(3-lambda)^3$
2) 2 blocchi di ordine 2. $m1(lambda)=(3-lambda)^2$
- $g(3)$=3 quindi J1 è costituita da 3 blocchi, due di ordine 1 e 1 di ordine 2. $m1(lambda)=(3-lambda)^2$
- $g(3)$=4 quindi J1 è costituita da 4 blocchi di ordine 1 ( cioè $J1=3Id$). $m1(lambda)=(3-lambda)$
Stesso discorso per J2:
- $g(1)$=1 quindi J2 è costituita da 1 blocco e il polinomio minimo di J2 è $m2(lambda)=(1-lambda)^2$
- $g(1)$=2 quindi J2 è costituita da 2 blocchi ($J2=2Id$) e il polinomio minimo di J2 è $m2(lambda)=(1-lambda)$
In conclusione ci sono 10 classi di similitudine e il polinomio minimo di ogni matrice di ottiene come prodotto $m=m1m2$.
Ora vorrei sapere se ho fatto giusto. E' vero che il polinomio minimo del generico blocco Ji si ottiene come $(lambda_i-lambda)^k$ dove k è l'ordine del sottoblocco più grande? Poi vorrei capire se questo esercizio si può risolvere anche usando la forma di schur al posto di quella di jordan e se sì come.
Grazie a chi mi risponderà e buone vacanze a tutti.
Risposte
L'esercizio è svolto correttamente. Di Schur non ti so dire niente, perché non conosco la sua forma canonica.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo