Matrici ed equazioni retta

[zio_mangrovia]

negli appunti di algebra trovo che l'equazione generale di una retta in $RR^2$ è:

$ax+by=c$

e si interseca con la retta passante per l'origine abbiamo il sistema seguente:

$\{(ax+by=c),(ax+by=0):}

e dice cha ha soluzione se e solo se $c=0$

Non capisco perchè il sistema ha soluzione solo se $c=0$.

[axpgn]

Scusa eh, ma ti basta sottrarre membro a membro ...

[zio_mangrovia]

"axpgn":Scusa eh, ma ti basta sottrarre membro a membro ...

in effetti avevo provato a scrivere la relativa matrice:

$|(a,b,c),(a,b,0)|$ -> $|(a,b,c),(0,0,-c)|$

si vede che il sistema è impossibile perché la seconda equazione non ha soluzione per $c!=0$, corretto?

Tutto questo nasce perché non capisco questo ragionamento poiché mi sono oscuri concetti assai banali ma che non ho ancora chiaro:
se il sistema ha soluzione per $c=0$ ne segue che $ax+by=c$ è parallela a $ax+by=0$ e poiché $(a,b)$ è normale a $ax+by=0$ lo è anche per $ax+by=c$ per ogni $c!=0$.

Procedendo per gradi vorrei capire se:
$ax+by=c$ (con $c!=0$) rappresenta una retta NON passante per l'origine?
$ax+by=c$ (con $c!=0$) rappresenta una retta normale al vettore (a,b)?

Leggendo gli appuntamenti capisco che la retta passante per l'origine ha equazione $ax+by=0$ che significa anche che il vettore $(a,b)$ è normale al vettore $(x,y)$