Matrici ed applicazioni lineari su spazi di polinomi
Ciao a tutti, vorrei chiedervi come si affronta questo tipo di esercizi, è la prima volta che li incontro ed avrei bisogno di una mano.
Trovare la matrice associata alle seguenti applicazioni lineari rispetto alle basi indicate:
(i) \(\displaystyle f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R^3}\ ,\ f(x,y)=(x+2y,3x+4y,5x+6y) \) rispetto alle basi canoniche
...
...
...
(iv) \(\displaystyle f: \mathbb{R}_2[t] \rightarrow \mathbb{R}_2[t] \ ,\ f(p(t))=p'(t)\) rispetto alla base \(\displaystyle \{1,x,x^2\} \) in entrambi gli spazi
Il (i) sono riuscito a farlo senza problemi, \(\displaystyle f(1,0) = (1,3,5) \) è la prima colonna della matrice ed \(\displaystyle f(0,1)=(2,4,6) \) è la seconda colonna, da cui:
\(\displaystyle M(f)=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix} \)
Ma con i polinomi sono un po' confuso... Come funziona?
(iv)
\(\displaystyle f(1)=(0+0x+0x^2) \)
\(\displaystyle f(x)=(1+0x+0x^2) \)
\(\displaystyle f(x^2)=(0+2x+0x^2) \)
\(\displaystyle M(f) = \begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&2\\0&0&0\end{pmatrix} \)
Così? Mi sento un po' confuso sulla teoria, qual è il significato di tutto ciò?
Un aiutino? Grazie tante
Trovare la matrice associata alle seguenti applicazioni lineari rispetto alle basi indicate:
(i) \(\displaystyle f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R^3}\ ,\ f(x,y)=(x+2y,3x+4y,5x+6y) \) rispetto alle basi canoniche
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(iv) \(\displaystyle f: \mathbb{R}_2[t] \rightarrow \mathbb{R}_2[t] \ ,\ f(p(t))=p'(t)\) rispetto alla base \(\displaystyle \{1,x,x^2\} \) in entrambi gli spazi
Il (i) sono riuscito a farlo senza problemi, \(\displaystyle f(1,0) = (1,3,5) \) è la prima colonna della matrice ed \(\displaystyle f(0,1)=(2,4,6) \) è la seconda colonna, da cui:
\(\displaystyle M(f)=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix} \)
Ma con i polinomi sono un po' confuso... Come funziona?
(iv)
\(\displaystyle f(1)=(0+0x+0x^2) \)
\(\displaystyle f(x)=(1+0x+0x^2) \)
\(\displaystyle f(x^2)=(0+2x+0x^2) \)
\(\displaystyle M(f) = \begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&2\\0&0&0\end{pmatrix} \)
Così? Mi sento un po' confuso sulla teoria, qual è il significato di tutto ciò?
Un aiutino? Grazie tante
Risposte
qual è il significato di tutto ciòHai fatto quello che fai ogni santa volta: hai preso una base, l'hai data da mangiare a una applicazione lineare e hai scritto il risultato come combinazione lineare della base stessa.
Già che ci siamo (così impari a collegare i vari esercizi che stai facendo), osserva che \(F : p\mapsto \frac{dp}{dx}\) è sempre nilpotente quando viene ristretto allo spazio vettoriale dei polinomi di grado \(\le n\) (questo perché la derivata $n+1$-esima di un polinomio di grado $n$ è zero). Ora, come esprimi la derivazione standard \(\frac{d}{dx} : \mathbb R[x]_{\le n}\to \mathbb R[x]_{\le n}\) come somma diretta di matrici nilpotenti standard?
Non saprei proprio, avevo notato che in questi casi le matrici che escono fuori sono nilpotenti (una matrice triangolare con le entrate tutte nulle sulla diagonale principale è sempre nilpotente vero? Non è detto il contrario però mi sembra di aver capito), ma non saprei come esprimere la derivazione in forma matriciale... Come si fa?? Grazie tante come al solito... Sto facendo del mio meglio per capire tutte le risposte che mi date ma non sempre riesco subito, studio algebra da qualche settimana soltanto... Qualche consiglio per imparare in fretta? Magari avete da consigliare del materiale di particolare rilievo?
Grazie ancora, cordialmente Cristian
Grazie ancora, cordialmente Cristian
una matrice triangolare con le entrate tutte nulle sulla diagonale principale è sempre nilpotente vero?Prova a dimostrarlo!
non saprei come esprimere la derivazione in forma matricialeNello spazio vettorial $L$ dei polinomi di grado minore o uguale a $d$, \(\mathbb R[x]_{\le d}\), è abbastanza facile: nella base canonica \(\{1,x,x^2,\dots, x^d\}\) la derivazione agisce mandando 1 in 0 e \(x^i\) in \(i x^{i-1}\) per ogni $i\ge 1$, scrivi la matrice che ne risulta. In un'altra base... beh, basta fare un cambio di base, ma è divertente fare l'esperimento con altre basi dello spazio dei polinomi, ad esempio
- la base di Taylor: se \(a\in \mathbb{R}\), l'insieme \(\{1,x-a,(x-a)^2,\dots, (x-a)^{d-1}\}\) è una base di \(L\); le coordinate di un elemento \(f\in L\) in questa base sono le sue derivate successive valutate in \(a\): \(\{f(a), f'(a), \frac{f''(a)}{2},\dots, \frac{f^{(d-1)}(a)}{(d-1)!}\}\).
- la base interpolante, che è la base della teoria dell'interpolazione di Lagrange: se \(a_1,\dots,a_d\in \mathbb{R}\) sono elementi a due a due distinti, definiamo
\[g_i(x) := \prod_{j\neq i} \frac{x-a_j}{a_i-a_j}.\]
Allora \(\{g_1,\dots, g_d\}\) è una base di \(L\); le coordinate di un elemento \(f\in L\) in questa base sono i valori di $f$ nei vari punti di interpolazione, \(\{f(a_1),\dots, f(a_d)\}\).
Quindi ad esempio, la matrice associata all'applicazione lineare \(\displaystyle f:\mathbb{R}_n[x] \rightarrow \mathbb{R}_n[x] \ \ ,\ \ f(p(x))=p'(x) \) rispetto alle basi canoniche \(\displaystyle \{1,x,x^2,...x^n\} \)
Sarà:
\(\displaystyle A \in \mathbb{R}^{n+1,n+1}\ | \ A =
\begin{pmatrix}
0&1&0&0&\cdots&0\\
0&0&2&0&\cdots&0\\
0&0&0&6&\cdots&0\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
0&0&0&0&\cdots&n!\\
0&0&0&0&\cdots&0
\end{pmatrix} \)
Dove le entrate non nulle sono tutte e sole quelle del tipo: \(\displaystyle a_{12},a_{23},a_{34},...,a_{i\ i+1} \) è esatto?
Per quanto riguarda la dimostrazione che mi hai proposto di fare sinceramente non ne ho idea... Noto che moltiplicando \(\displaystyle A \) per se stessa la diagonale con gli elementi non nulli ogni volta "sale", fino a scomparire quando la matrice viene elevata alla \(\displaystyle n \)-esima potenza, ma è pura deduzione dai casi 2x2, 3x3, 4x4... Insomma niente di formale...
Per quanto riguarda il resto ho capito davvero poco, ancora devo iniziare la parte di calcolo numerico del corso in cui parleremo di interpolazione ecc...
Grazie tante dell'aiuto!!!
Sarà:
\(\displaystyle A \in \mathbb{R}^{n+1,n+1}\ | \ A =
\begin{pmatrix}
0&1&0&0&\cdots&0\\
0&0&2&0&\cdots&0\\
0&0&0&6&\cdots&0\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
0&0&0&0&\cdots&n!\\
0&0&0&0&\cdots&0
\end{pmatrix} \)
Dove le entrate non nulle sono tutte e sole quelle del tipo: \(\displaystyle a_{12},a_{23},a_{34},...,a_{i\ i+1} \) è esatto?
Per quanto riguarda la dimostrazione che mi hai proposto di fare sinceramente non ne ho idea... Noto che moltiplicando \(\displaystyle A \) per se stessa la diagonale con gli elementi non nulli ogni volta "sale", fino a scomparire quando la matrice viene elevata alla \(\displaystyle n \)-esima potenza, ma è pura deduzione dai casi 2x2, 3x3, 4x4... Insomma niente di formale...
Per quanto riguarda il resto ho capito davvero poco, ancora devo iniziare la parte di calcolo numerico del corso in cui parleremo di interpolazione ecc...
Grazie tante dell'aiuto!!!
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