Matrici diagonalizzabili e non con numeri complessi
Ciao e grazie per aver aperto la domanda.
Sono nuova del forum e spero di rispettare tutte le regole,ma se mancassi di essere specifica in qualche richiesta,vi prego di farmelo notare perché sarà sicuramente per una svista o dimenticanza. Provo ad inserire le formule nel modo corretto,ma non assicuro una gran riuscita,quindi perdonate ogni errore!
Sono al primo anno di specialistica in economia e sto seguendo un corso di matematica in cui abbiamo affrontato la risoluzione dei sistemi dinamici.
Riesco a svolgere gli esercizi di matrici diagonalizzabili e non con numeri reali,ma ho dei problemi con quelle che presentano autovalori sotto forma di numeri complessi.
Arrivo a determinare l'autovalore o gli autovalori (e quindi anche gli autovettori),ma poi non so come determinare la matrice di transizione per verificare che sia una di quelle giuste per avere la forma canonica di Jordan (le lettere con cui lavoro sono: $P^-1$ A P= $\Gamma$ dove $\Gamma$ é la forma canonica) .
Porto un esempio: matrice A 2x2
$((1,-2),(2,1))$
det(A- $\lambda$ I)=(1- $\lambda$ )^2+4= 0
da cui
1+$\lambda$ ^2-2 $\lambda$ +4= $\lambda$ ^2-2 $\lambda$ +5=0
risultano gli autovalori
$\lambda$ (1)=[2+radq(-16)]/2= 1+2i
$\lambda$ (2)=1-2i
sostituendo nella matrice (A- $\lambda$ I) trovo gli autovettori relativi tramite sistema [calcolo solo per il primo $\lambda$ per far capire che non é qui che ho il problema,spero]
$\{(-2ix - 2y = 0),(2x - 2iy=0):}$
da cui
$\{(x = iy),( y $in$ $RR$ ):}$
prendo l'autovettore
$((i,1))$ (é una colonna,ma non riesco a farla apparire)
per $\lambda$ (2) si avrà il coniugato
$((-i,1))$ (colonna anche questa,problema di prima)
Ecco... adesso questi due autovettori costituiscono le due colonne di P? E come verifico che sia una delle giuste matrici di transizione? Ho provato a svolgere i prodotti,ma con i numeri complessi mi risulta tutto una gran confusione.
Potreste spiegarmi come posso continuare a svolgere l'esercizio?
Grazie mille!
Sono nuova del forum e spero di rispettare tutte le regole,ma se mancassi di essere specifica in qualche richiesta,vi prego di farmelo notare perché sarà sicuramente per una svista o dimenticanza. Provo ad inserire le formule nel modo corretto,ma non assicuro una gran riuscita,quindi perdonate ogni errore!
Sono al primo anno di specialistica in economia e sto seguendo un corso di matematica in cui abbiamo affrontato la risoluzione dei sistemi dinamici.
Riesco a svolgere gli esercizi di matrici diagonalizzabili e non con numeri reali,ma ho dei problemi con quelle che presentano autovalori sotto forma di numeri complessi.
Arrivo a determinare l'autovalore o gli autovalori (e quindi anche gli autovettori),ma poi non so come determinare la matrice di transizione per verificare che sia una di quelle giuste per avere la forma canonica di Jordan (le lettere con cui lavoro sono: $P^-1$ A P= $\Gamma$ dove $\Gamma$ é la forma canonica) .
Porto un esempio: matrice A 2x2
$((1,-2),(2,1))$
det(A- $\lambda$ I)=(1- $\lambda$ )^2+4= 0
da cui
1+$\lambda$ ^2-2 $\lambda$ +4= $\lambda$ ^2-2 $\lambda$ +5=0
risultano gli autovalori
$\lambda$ (1)=[2+radq(-16)]/2= 1+2i
$\lambda$ (2)=1-2i
sostituendo nella matrice (A- $\lambda$ I) trovo gli autovettori relativi tramite sistema [calcolo solo per il primo $\lambda$ per far capire che non é qui che ho il problema,spero]
$\{(-2ix - 2y = 0),(2x - 2iy=0):}$
da cui
$\{(x = iy),( y $in$ $RR$ ):}$
prendo l'autovettore
$((i,1))$ (é una colonna,ma non riesco a farla apparire)
per $\lambda$ (2) si avrà il coniugato
$((-i,1))$ (colonna anche questa,problema di prima)
Ecco... adesso questi due autovettori costituiscono le due colonne di P? E come verifico che sia una delle giuste matrici di transizione? Ho provato a svolgere i prodotti,ma con i numeri complessi mi risulta tutto una gran confusione.
Potreste spiegarmi come posso continuare a svolgere l'esercizio?
Grazie mille!
Risposte
Innanzitutto, benvenuta nel forum e buone permanenza.
L'esercizio, fino al punto in cui sei arrivata, è giusto.
Ora, se non ho capito male, vuoi verificare che, posto
$A=((1,-2),(2,1))$
$P=((i,-i),(1,1))$
$Gamma=((1+2i,0),(0,1-2i))$,
si ha che $P^{-1}AP=Gamma$.
Giusto?
Bene. Il procedimento è uguale a quello che usi per calcolare il prodotto fra matrici reali o l'inversa di matrici reali. L'unica accortezza che devi usare è il fatto che ti capiterà di moltiplicare numeri complessi per cui devi usare le solite regole per i numeri complessi.
Prova a farlo. Non dovresti incontrare grossi problemi. Se hai bisogno di consulenza per qualche calcolo specifico, chiedi pure.
L'esercizio, fino al punto in cui sei arrivata, è giusto.
Ora, se non ho capito male, vuoi verificare che, posto
$A=((1,-2),(2,1))$
$P=((i,-i),(1,1))$
$Gamma=((1+2i,0),(0,1-2i))$,
si ha che $P^{-1}AP=Gamma$.
Giusto?
Bene. Il procedimento è uguale a quello che usi per calcolare il prodotto fra matrici reali o l'inversa di matrici reali. L'unica accortezza che devi usare è il fatto che ti capiterà di moltiplicare numeri complessi per cui devi usare le solite regole per i numeri complessi.
Prova a farlo. Non dovresti incontrare grossi problemi. Se hai bisogno di consulenza per qualche calcolo specifico, chiedi pure.
Bisogna solo prenderci un pò la mano nei calcoli!
Ho pensato di scrivere la soluzione nel caso servisse a qualcun altro
Dopo aver calcolato $P^-1$ A P si ottiene una matrice $\Gamma$ del tipo
$((a,0),(0,b))$
con a= $(2i+4)/(2i)$
e b= $(2i-4)/(2i)$
I valori sulla diagonale principale vanno trasformati a questo modo:
$(2i+4)/(2i)$ $\rightarrow$ si semplifica "eliminando i 2"
$(i+2)/(i)$ da cui si ottiene
$1+2/i$
si moltiplica $2/i$ per $(i)/(i)$ e si ottiene
$(2i)/i^2$ cioé $(2i)/-1$ equivalente a -2i
Da cui: $(2i+4)/(2i)$ = 1-2i
discorso analogo per l'altro valore,da cui si otterrà 1+2i
Altro modo per trasformare il secondo valore é quello di vedere "-4" come $4*i^2$, cioé $2i*2i$
ottenendo
$(2i+(2ix2i))/(2i)$ da cui l'ovvio risultato 1+2i.
Grazie per la risposta: mi ha motivato ed incoraggiato a proseguire dandomi la sicurezza di essere sulla strada giusta!!!
Ho pensato di scrivere la soluzione nel caso servisse a qualcun altro
Dopo aver calcolato $P^-1$ A P si ottiene una matrice $\Gamma$ del tipo
$((a,0),(0,b))$
con a= $(2i+4)/(2i)$
e b= $(2i-4)/(2i)$
I valori sulla diagonale principale vanno trasformati a questo modo:
$(2i+4)/(2i)$ $\rightarrow$ si semplifica "eliminando i 2"
$(i+2)/(i)$ da cui si ottiene
$1+2/i$
si moltiplica $2/i$ per $(i)/(i)$ e si ottiene
$(2i)/i^2$ cioé $(2i)/-1$ equivalente a -2i
Da cui: $(2i+4)/(2i)$ = 1-2i
discorso analogo per l'altro valore,da cui si otterrà 1+2i
Altro modo per trasformare il secondo valore é quello di vedere "-4" come $4*i^2$, cioé $2i*2i$
ottenendo
$(2i+(2ix2i))/(2i)$ da cui l'ovvio risultato 1+2i.
Grazie per la risposta: mi ha motivato ed incoraggiato a proseguire dandomi la sicurezza di essere sulla strada giusta!!!
Prego!
Permettimi di darti un altro piccolo consiglio per i prossimi esercizi.
Quando trovi l'unità immeginaria $i$ al denominatore puoi "trasformarla" in questo modo
(*) $\frac{1}{i}=-i$.
L'uguaglianza precedente è dovuta al fatto che $1=-(-1)=-i^{2}=-i\cdot i$ da cui dividendo ambo i membri per $i$ ottieni (*).
In questo modo il calcolo precedente era un po' più rapido:
$\frac{2i+4}{2i}=\frac{i+2}{i}=(i+2)(-i)=-i^2-2i=1-2i$.
L'altra
$\frac{2i-4}{2i}=\frac{i-2}{i}=(i-2)(-i)=-i^2+2i=1+2i$.
L'inverso di un generico numero complesso $a+ib$ può essere ottenuto con la formuletta
$frac{1}{a+ib}=\frac{a-ib}{a^2+b^2}$
che può essere riscritta in questo modo
$\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{|z|^2}$
dove $z=a+ib$, $\bar{z}=a-ib$ è il coniugato di $z$ e $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ è il modulo di $z$.
Permettimi di darti un altro piccolo consiglio per i prossimi esercizi.
Quando trovi l'unità immeginaria $i$ al denominatore puoi "trasformarla" in questo modo
(*) $\frac{1}{i}=-i$.
L'uguaglianza precedente è dovuta al fatto che $1=-(-1)=-i^{2}=-i\cdot i$ da cui dividendo ambo i membri per $i$ ottieni (*).
In questo modo il calcolo precedente era un po' più rapido:
$\frac{2i+4}{2i}=\frac{i+2}{i}=(i+2)(-i)=-i^2-2i=1-2i$.
L'altra
$\frac{2i-4}{2i}=\frac{i-2}{i}=(i-2)(-i)=-i^2+2i=1+2i$.
L'inverso di un generico numero complesso $a+ib$ può essere ottenuto con la formuletta
$frac{1}{a+ib}=\frac{a-ib}{a^2+b^2}$
che può essere riscritta in questo modo
$\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{|z|^2}$
dove $z=a+ib$, $\bar{z}=a-ib$ è il coniugato di $z$ e $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ è il modulo di $z$.
Concordo pienamente e ti ringrazio ancora una volta
Io ho voluto dare una spiegazione più dettagliata per chi,come me, ha bisogno di un metodo semplice usato dai tempi del liceo,da poter usare anche
nei momenti di panico dell'esame. La tua rimane una spiegazione migliore,ma per chi non ha dimestichezza con i numeri complessi forse non é
facile da mandare a mente,almeno le prime volte.
Che dire... grazie per aver lasciato un'altra risposta ottima!!!
Io ho voluto dare una spiegazione più dettagliata per chi,come me, ha bisogno di un metodo semplice usato dai tempi del liceo,da poter usare anche
nei momenti di panico dell'esame. La tua rimane una spiegazione migliore,ma per chi non ha dimestichezza con i numeri complessi forse non é
facile da mandare a mente,almeno le prime volte.
Che dire... grazie per aver lasciato un'altra risposta ottima!!!
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