Matrici definite semidefinite e indefinite
Ragazzi non è proprio un dubbio il mio ma è più una richiesta di conferma perchè non vorrei sbagliarmi di nuovo all'esame (XD).
1) Allora .. ho una matrice A (come si scrivono sistemate ? non so usare i codici) simmetrica e nella diagonale un parametro K.
Mi si chiede quando è definita (positiva o negativa) quando è semidefinita (positiva o negativa) e quando non è definita.
Procedo così:
Calcolo i determinanti di tutti i minori principali che devono essere tutti positivi(negativi) se la voglio definita, tutti positivi(negativi) e minimo uno nullo se la voglio semidefinita, almeno uno positivo e uno negativo se è non definita.
2) Se la matrice non è simmetrica e ha dentro il parametro in diagonale mi tocca fare il polinomio caratteristico ?
3) Matrice simmetrica senza parametri, voglio sempre sapere quando è definita ecc ecc allora calcolo il polinomio caratteristico e quindi gli autovalori perchè se è simmetrica vuol dire che c'è una classe di congruenza della matrice A dove c'è anche la matrice diagonale che ha come elementi gli autovalori.. quindi se gli autovalori sono tutti positivi(negativi) allora la matrice è definita, se c'è almeno uno nullo e poi tutti positivi(negativi) allora è semidefinita , se c'è almeno un positivo e un negativo allora non è definita.
4) matrice non simmetrica senza parametri: stesso discorso... polinomio caratteristico, autovalori ecc
Ho scritto cavolate?
1) Allora .. ho una matrice A (come si scrivono sistemate ? non so usare i codici) simmetrica e nella diagonale un parametro K.
Mi si chiede quando è definita (positiva o negativa) quando è semidefinita (positiva o negativa) e quando non è definita.
Procedo così:
Calcolo i determinanti di tutti i minori principali che devono essere tutti positivi(negativi) se la voglio definita, tutti positivi(negativi) e minimo uno nullo se la voglio semidefinita, almeno uno positivo e uno negativo se è non definita.
2) Se la matrice non è simmetrica e ha dentro il parametro in diagonale mi tocca fare il polinomio caratteristico ?
3) Matrice simmetrica senza parametri, voglio sempre sapere quando è definita ecc ecc allora calcolo il polinomio caratteristico e quindi gli autovalori perchè se è simmetrica vuol dire che c'è una classe di congruenza della matrice A dove c'è anche la matrice diagonale che ha come elementi gli autovalori.. quindi se gli autovalori sono tutti positivi(negativi) allora la matrice è definita, se c'è almeno uno nullo e poi tutti positivi(negativi) allora è semidefinita , se c'è almeno un positivo e un negativo allora non è definita.
4) matrice non simmetrica senza parametri: stesso discorso... polinomio caratteristico, autovalori ecc
Ho scritto cavolate?
Risposte
Non credo che sia praticolarmente utile distinguere tutti questi casi, nel senso se hai una matrice quadrata un modo per vedere se questa è definita, semidefinita o indefinita consiste nello studiare il segno degli autovalori e fare un ragionamento come quello da te descritto. Ora, se la matrice contiene un parametro gli autovalori, ovvero le soluzioni del polinomio caratteristico, saranno in funzione del parametro per cui il loro segno sarà determinato dal valore di questo e di conseguenza il fatto che la matrice sia definita o altro; in questo senso la 'definizione' di una matrice con parametro si riconduce allo studio del segno degli autovalori. Ovviamente poi se la matrice è simmetrica questa è simile ad una matrice diagonale il ché nient'altro è che il criterio di diagonalizzabilità delle forme quadratiche.
Quindi in sostanza conviene sempre (per evitare dubbi e confusioni) farsi sempre il polinomio caratteristico (che sia simmetrica o meno la matrice) e determinare li per quali valori di un eventuale parametro la matrice e quindi l'applicazione è definita, semidefinita e non definita giusto?"marco.bre":
Non credo che sia praticolarmente utile distinguere tutti questi casi, nel senso se hai una matrice quadrata un modo per vedere se questa è definita, semidefinita o indefinita consiste nello studiare il segno degli autovalori e fare un ragionamento come quello da te descritto. Ora, se la matrice contiene un parametro gli autovalori, ovvero le soluzioni del polinomio caratteristico, saranno in funzione del parametro per cui il loro segno sarà determinato dal valore di questo e di conseguenza il fatto che la matrice sia definita o altro; in questo senso la 'definizione' di una matrice con parametro si riconduce allo studio del segno degli autovalori. Ovviamente poi se la matrice è simmetrica questa è simile ad una matrice diagonale il ché nient'altro è che il criterio di diagonalizzabilità delle forme quadratiche.
Puoi anche usare il criterio di Jacobi, che ti permette di scansare il polinomio caratteristico (per matrici grandi l'equazione caratteristica potrebbe essere difficile da risolvere).
http://it.wikipedia.org/wiki/Criterio_di_Jacobi
http://it.wikipedia.org/wiki/Criterio_di_Jacobi
Esatto! Io ho sempre fatto così... prima di conoscere questa meraviglia che è il criterio di Jacobi!!! 
Il fatto però dipende dal contesto nel quale devi valutare se una matrice è definita o meno: in alcuni casi è necessario conoscere esplicitamente gli autovalori (tipo quando diagonalizzi una forma quadratica), in altri basta sapere se è definita, semidefinita o indefinita (tipo se valuti i punti mi maxmin assoluti di una funzione studiando l'hessiana).
Il fatto però dipende dal contesto nel quale devi valutare se una matrice è definita o meno: in alcuni casi è necessario conoscere esplicitamente gli autovalori (tipo quando diagonalizzi una forma quadratica), in altri basta sapere se è definita, semidefinita o indefinita (tipo se valuti i punti mi maxmin assoluti di una funzione studiando l'hessiana).
"dissonance":
Puoi anche usare il criterio di Jacobi, che ti permette di scansare il polinomio caratteristico (per matrici grandi l'equazione caratteristica potrebbe essere difficile da risolvere).
http://it.wikipedia.org/wiki/Criterio_di_Jacobi
ho svolto un esercizio con entrambi i metodi e mi è venuto un dubbio:
sia A una matrice simmetrica:
$A=((2,0,b),(0,3,0),(b,0,1))$
determinare per quali valori di b la matrice è definita positiva,negativa o indefinita:
con il calcolo degli autovalori:
$A=|(2-\lambda,0,b),(0,3-\lambda,0),(b,0,1-\lambda)|=(3-\lambda)*|(2-\lambda,b),(b,1-\lambda)|=(3-\lambda)*[(2-\lambda)(1-\lambda)+b^2]$=$(\lambda-3)*(\lambda^2+3\lambda+b^2-2)$
per essere positiva il $\Delta$ deve essere >0
quindi
$\Delta=(-3+sqrt(9-4b^2+8))/(2)$
le condizioni di esistenza sono $-sqrt17/2
$\Delta>0$ quando
$(-3+sqrt(9-4b^2+8))/(2)>0$ $\rightarrow$ $(sqrt(-4b^2+17))/(2)>3/2$ $\rightarrow$ $(-4b^2+17)/4>9/4$ $\rightarrow$
$-4b^2>-8$ $\rightarrow$ $b<-sqrt2 vv b>sqrt2$
con jacobi invece
$det(2)=2$
$|(2,0),(0,3)|=6$
$|A|=3*|(2,b),(b,1)|=3(2-b^2)$
da cui appunto
$b<-sqrt2 vv b>sqrt2$
come mai però il dominio è più ampio(cioè non ci sono le condizioni di esistenza?)
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