Matrici associate e applicazioni lineari
Salve di nuovo a tutti,
sono AMPIAMENTE in crisi per questo stramaledettissimo esame di Geometria 2, e addirittura riesco ad incartarmi su cose basilari di algebra lineare.
Ad ogni modo, esplico il mio problema:
Un'applicazione lineare è definita quando si conosce una base del dominio e una base del codominio, e fino a qui ci siamo.
Codesta applicazione lineare può esprimersi con la seguente formula:
$y = A*x$
dove $x$ rappresenta è un vettore colonna con le coordinate di un vettore della base del dominio, $y$ è un vettore colonna con le coordinate di un vettore della base del codominio, e $A$ è la matrice associata all'applicazione lineare nei riferimenti dati.
Voglio quindi trovare una matrice associata ad una determinata applicazione lineare, conoscendo sia la base del dominio che quella del codominio.
Quello che so è che per fare ciò, devo trovare le coordinate della base del dominio, nella base del codominio, e tali coordinate formeranno le COLONNE della matrice che cerco.
Di conseguenza, date una base $B_v = (v_1,v_2,.....,v_m)$ di arrivo e una base $B_w = (w_1,w_2,....,w_n)$ di partenza, dico che:
$v_j = a_(j1)*w_1 + a_(j2)*w_2 + ..... + a_(jn)*w_n$ per ogni j = 1,....,m
Le coordinate $a_(j1),a_(j2),.....,a_(jn)$, messe nelle colonne di una matrice m*n formano la matrice cercata.
Tutto ciò però, va in contrasto con la precedente affermazione, in quanto la formula:
$y = A*x$
non rappresenta altro che un sistema lineare:
$\{(y_1 = a_11*x_1 + a_12*x_2 + ..... + a_(1n)*x_n),(y_2 = a_21*x_1 + a_22*x_2 + ..... + a_(2n)*x_n),(..),(..),(..),(y_m = a_(m1)*x_1 + a_(m2)*x_2 + ..... + a_(mn)*x_n):}$
Ma quando faccio il prodotto $A*x$ che in quel caso è $A*w_j$, non tornano le coordinate di $v_j$.
Mi spiego meglio facendo un esempio pratico!
Prendo la base $B_v = ((0),(0),(0)),((1),(3),(4)),((1),(2),(3))$ e la base $B_w = ((-3),(5),(1)),((1),(1),(0)),((1),(0),(0))$.
Cerco quindi la matrice di passaggio da una base all'altra, e trovo che la matrice è:
$A = ((0,4,3),(0,-17,-13),(0,30,25))$
Ora però, se prendo la definizione $v_i = A*w_i$, trovo che:
$((0,4,3),(0,-17,-13),(0,30,25))*((-3),(5),(1))!=((0),(0),(0))$
E così con gli altri vettori... Dov'è che falla il mio ragionamento?
sono AMPIAMENTE in crisi per questo stramaledettissimo esame di Geometria 2, e addirittura riesco ad incartarmi su cose basilari di algebra lineare.
Ad ogni modo, esplico il mio problema:
Un'applicazione lineare è definita quando si conosce una base del dominio e una base del codominio, e fino a qui ci siamo.
Codesta applicazione lineare può esprimersi con la seguente formula:
$y = A*x$
dove $x$ rappresenta è un vettore colonna con le coordinate di un vettore della base del dominio, $y$ è un vettore colonna con le coordinate di un vettore della base del codominio, e $A$ è la matrice associata all'applicazione lineare nei riferimenti dati.
Voglio quindi trovare una matrice associata ad una determinata applicazione lineare, conoscendo sia la base del dominio che quella del codominio.
Quello che so è che per fare ciò, devo trovare le coordinate della base del dominio, nella base del codominio, e tali coordinate formeranno le COLONNE della matrice che cerco.
Di conseguenza, date una base $B_v = (v_1,v_2,.....,v_m)$ di arrivo e una base $B_w = (w_1,w_2,....,w_n)$ di partenza, dico che:
$v_j = a_(j1)*w_1 + a_(j2)*w_2 + ..... + a_(jn)*w_n$ per ogni j = 1,....,m
Le coordinate $a_(j1),a_(j2),.....,a_(jn)$, messe nelle colonne di una matrice m*n formano la matrice cercata.
Tutto ciò però, va in contrasto con la precedente affermazione, in quanto la formula:
$y = A*x$
non rappresenta altro che un sistema lineare:
$\{(y_1 = a_11*x_1 + a_12*x_2 + ..... + a_(1n)*x_n),(y_2 = a_21*x_1 + a_22*x_2 + ..... + a_(2n)*x_n),(..),(..),(..),(y_m = a_(m1)*x_1 + a_(m2)*x_2 + ..... + a_(mn)*x_n):}$
Ma quando faccio il prodotto $A*x$ che in quel caso è $A*w_j$, non tornano le coordinate di $v_j$.
Mi spiego meglio facendo un esempio pratico!
Prendo la base $B_v = ((0),(0),(0)),((1),(3),(4)),((1),(2),(3))$ e la base $B_w = ((-3),(5),(1)),((1),(1),(0)),((1),(0),(0))$.
Cerco quindi la matrice di passaggio da una base all'altra, e trovo che la matrice è:
$A = ((0,4,3),(0,-17,-13),(0,30,25))$
Ora però, se prendo la definizione $v_i = A*w_i$, trovo che:
$((0,4,3),(0,-17,-13),(0,30,25))*((-3),(5),(1))!=((0),(0),(0))$
E così con gli altri vettori... Dov'è che falla il mio ragionamento?
Risposte
Attenzione! Nell'esempio che hai detto te, $B_v$ non è affatto una base, visto che il vettore nullo è linearmente dipendente ad ogni vettore di $RR^3$.
Si, è vero, e questo perchè l'esercizio da cui ho preso quei dati è leggermente diverso.
Si tratta infatti di una vera e propria applicazione lineare definita da una funzione $f(x,y,z)$.
La base $B_v$ che ho scritto non è nient'altro che l'immagine della base $B_w$ nella funzione $f(x,y,z)$.
Quindi alla fine il tutto sarebbe:
$f(v_j) = A*v_j$
Infatti la prima colonna della matrice $A$ è tutti zeri perchè sono le coordinate di $v_1$ nel vettore $f(v_1)$.
Si tratta infatti di una vera e propria applicazione lineare definita da una funzione $f(x,y,z)$.
La base $B_v$ che ho scritto non è nient'altro che l'immagine della base $B_w$ nella funzione $f(x,y,z)$.
Quindi alla fine il tutto sarebbe:
$f(v_j) = A*v_j$
Infatti la prima colonna della matrice $A$ è tutti zeri perchè sono le coordinate di $v_1$ nel vettore $f(v_1)$.
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