Matrici antisimmetriche $3xx3$ ortogonalmente simili
Siano $A$ e $B$ due matrici antisimmetriche in $M_3$($RR$). Dimostrare che se $A$ e $B$ hanno stesso polinomio caratteristico sono ortogonalmente simili.
Trascrivo qua sotto il ragionamento parziale che ho fatto ma che non sono riuscito a concludere:
Innanzitutto la prima cosa che ho osservato che siccome l'ordine delle matrici antisimmetriche è $3$ (ovvero dispari) si ha che il determinante è nullo (si dimostra) da cui ho subito dedotto che $0$ è autovalore. Un altra proprietà del polinomio caratteristico delle matrici antisimmetriche è che se $k$ è un autovalore allora anche $-k$ è un autovalore. Analizzando il polinomio caratteristico di una matrice generica antisimmetrica di ordine $3$ così fatta $((0,a,b),(-a,0,c),(-b,-c,0))$ (che è $-x*(x^2+a^2+b^2+c^2)$) ho notato che, a meno del caso in cui il polinomio caratteristico è $-x^3$ allora $a^2+b^2+c^2=0$ ma poiché siamo nel campo dei numeri reali necessariamente $a=b=c=0$ da cui la matrice è automaticamente nulla, oltre all'autovalore $0$ ci sono altri due autovalori che sono distinti e complessi (in particolare sono opposti in segno come detto prima per le proprietà del polinomio caratteristico delle matrici antisimmetriche). Quindi ho pensato prima di studiare le due matrici nel campo dei numeri complessi per poi passare a quello dei reali. Infatti si può dimostrare (non sto qui a fare la dimostrazione) che se due matrici sono simili nel campo dei numeri complessi allora lo sono anche nei reali. Quindi appunto i polinomi caratteristici (essendo uguali per ipotesi) delle due matrici nei numeri complessi è $x(x-k)(x+k)$ da cui deduco subito che entrambe le matrici sono diagonalizzabili e avendo lo stesso polinomio caratteristico sono simili e poi da qui, per la dimostrazione citata prima, si deduceva che erano simili anche sui reali. Il problema ora si pone nel fatto che devo dimostrare non solo che siano simili ma che la matrice che li rende "simili" è anche ortogonale (infatti dice ortogonalmente simili). Mi era venuta in mente l'idea che appunto se dimostrassi che le due matrici sono ortogonalmente simili nei complessi lo sono anche nei reali però neanche nei complessi riesco a mostrare che la matrice di cambio di base è ortogonale e da qua il dilemma. Inoltre poiché le matrici antisimmetriche hanno rango sempre pari allora il rango delle due matrici antisimmetriche di ordine $3$ è $2$ oppure $0$. Nel caso una delle due matrici ha rango $0$ (quindi è nulla) il polinomio caratteristico è $-x^3$ ma poiché i polinomi caratteristici sono uguali anche l'altra matrice è nulla e quindi anche essa ha rango $0$, mentre se una delle due ha rango $2$ anche l altra deve avere rango $2$ (poiché se avesse rango $0$ per quanto detto prima anche l'altra matrice dovrebbe avere rango $0$, assurdo). In ogni caso le due matrici antisimmetriche hanno lo stesso rango e quindi sono congruenti, non so quanto possa essere utile questa proprietà ai fini del problema ma la dico lo stesso.
Trascrivo qua sotto il ragionamento parziale che ho fatto ma che non sono riuscito a concludere:
Innanzitutto la prima cosa che ho osservato che siccome l'ordine delle matrici antisimmetriche è $3$ (ovvero dispari) si ha che il determinante è nullo (si dimostra) da cui ho subito dedotto che $0$ è autovalore. Un altra proprietà del polinomio caratteristico delle matrici antisimmetriche è che se $k$ è un autovalore allora anche $-k$ è un autovalore. Analizzando il polinomio caratteristico di una matrice generica antisimmetrica di ordine $3$ così fatta $((0,a,b),(-a,0,c),(-b,-c,0))$ (che è $-x*(x^2+a^2+b^2+c^2)$) ho notato che, a meno del caso in cui il polinomio caratteristico è $-x^3$ allora $a^2+b^2+c^2=0$ ma poiché siamo nel campo dei numeri reali necessariamente $a=b=c=0$ da cui la matrice è automaticamente nulla, oltre all'autovalore $0$ ci sono altri due autovalori che sono distinti e complessi (in particolare sono opposti in segno come detto prima per le proprietà del polinomio caratteristico delle matrici antisimmetriche). Quindi ho pensato prima di studiare le due matrici nel campo dei numeri complessi per poi passare a quello dei reali. Infatti si può dimostrare (non sto qui a fare la dimostrazione) che se due matrici sono simili nel campo dei numeri complessi allora lo sono anche nei reali. Quindi appunto i polinomi caratteristici (essendo uguali per ipotesi) delle due matrici nei numeri complessi è $x(x-k)(x+k)$ da cui deduco subito che entrambe le matrici sono diagonalizzabili e avendo lo stesso polinomio caratteristico sono simili e poi da qui, per la dimostrazione citata prima, si deduceva che erano simili anche sui reali. Il problema ora si pone nel fatto che devo dimostrare non solo che siano simili ma che la matrice che li rende "simili" è anche ortogonale (infatti dice ortogonalmente simili). Mi era venuta in mente l'idea che appunto se dimostrassi che le due matrici sono ortogonalmente simili nei complessi lo sono anche nei reali però neanche nei complessi riesco a mostrare che la matrice di cambio di base è ortogonale e da qua il dilemma. Inoltre poiché le matrici antisimmetriche hanno rango sempre pari allora il rango delle due matrici antisimmetriche di ordine $3$ è $2$ oppure $0$. Nel caso una delle due matrici ha rango $0$ (quindi è nulla) il polinomio caratteristico è $-x^3$ ma poiché i polinomi caratteristici sono uguali anche l'altra matrice è nulla e quindi anche essa ha rango $0$, mentre se una delle due ha rango $2$ anche l altra deve avere rango $2$ (poiché se avesse rango $0$ per quanto detto prima anche l'altra matrice dovrebbe avere rango $0$, assurdo). In ogni caso le due matrici antisimmetriche hanno lo stesso rango e quindi sono congruenti, non so quanto possa essere utile questa proprietà ai fini del problema ma la dico lo stesso.
Risposte
Perché non provare a ragionare sul campo dei numeri complessi? 
"j18eos":
Perché non provare a ragionare sul campo dei numeri complessi?
Ho provato ma comunque non ne riesco a mostrare l'ortogonalità
Nemmeno io... escono fuori dei calcoli assurdi!
"j18eos":
Nemmeno io... escono fuori dei calcoli assurdi!
Non ne ho proprio idea, e pensare che questo era un esercizio dello scorso appello di geometria 1B
Prova a cambiare base. Se ne cerchi una ortogonale uno dei cui vettori genera il nucleo di $A$ trovi (se $a$ e $b$ non sono entrambi nulli)
$((c),(-b),(a)), ((0),(a),(b)), ((-a^2-b^2),(-bc),(ac))$.
Qual è la matrice in questa nuova base?
L'idea comunque è che, siccome il nucleo è non nullo, ci si riesce a ridurre a una matrice $2xx2$. Poi bisognerebbe vedere che teoremi avete visto perché a volte vengono presentati risultati che banalizzano specificamente un certo tipo di esercizi, che poi vengono proposti all'esame.
$((c),(-b),(a)), ((0),(a),(b)), ((-a^2-b^2),(-bc),(ac))$.
Qual è la matrice in questa nuova base?
L'idea comunque è che, siccome il nucleo è non nullo, ci si riesce a ridurre a una matrice $2xx2$. Poi bisognerebbe vedere che teoremi avete visto perché a volte vengono presentati risultati che banalizzano specificamente un certo tipo di esercizi, che poi vengono proposti all'esame.
"Martino":
Poi bisognerebbe vedere che teoremi avete visto perché a volte vengono presentati risultati che banalizzano specificamente un certo tipo di esercizi, che poi vengono proposti all'esame.
Sulle matrici antisimmetriche (o comunque sugli argomenti inerenti alla risoluzione del problema) abbiamo fatto pochissimi teoremi/esercizi se non quelli citati nella spiegazione che ho dato all'inizio, sennò probabilmente ci sarei arrivato. Comunque grazie della risposta provo a vedere un po' quello che mi hai suggerito.
"Martino":
Prova a cambiare base. Se ne cerchi una ortogonale uno dei cui vettori genera il nucleo di $A$ trovi (se $a$ e $b$ non sono entrambi nulli)
$((c),(-b),(a)), ((0),(a),(b)), ((-a^2-b^2),(-bc),(ac))$.
Qual è la matrice in questa nuova base?
L'idea comunque è che, siccome il nucleo è non nullo, ci si riesce a ridurre a una matrice $2xx2$. Poi bisognerebbe vedere che teoremi avete visto perché a volte vengono presentati risultati che banalizzano specificamente un certo tipo di esercizi, che poi vengono proposti all'esame.
Innanzitutto nel problema richiede una matrice ortogonale quindi i vettori che hai detto tu dovrebbero essere ortonormali (però in questo caso dato che i tuoi sono ortogonali basta dividere ogni vettore per la sua norma) però il problema è che con la matrice di cambio di base $H=((c,0,-a^2-b^2),(-b,a,-bc),(a,b,ac))$ ottengo che $H^-1((0,a,b),(-a,0,c),(-b,-c,0))H=((0,0,0),(0,0,a^2+b^2+c^2),(0,-1,0))$ che per prima cosa non è detto che sia antisimmetrica e comunque anche se lo fosse non ho ancora dimostrato che TUTTE le matrici antisimmetriche che hanno lo stesso polinomio caratteristico di $((0,a,b),(-a,0,c),(-b,-c,0))$ sono ortogonalmente simili a essa (a meno che l'unica matrice antisimmetrica che ha lo stesso polinomio caratteristico di $((0,a,b),(-a,0,c),(-b,-c,0))$ è $((0,0,0),(0,0,a^2+b^2+c^2),(0,-1,0))$). Probabilmente sono io che non ho capito a pieno il tuo ragionamento se riesci a spiegarlo meglio mi farebbe piacere, grazie di nuovo
.
Ok, ridefinisci la base dividendo per la norma dei vettori. Il termine $a^2+b^2+c^2$ è lo stesso per tutte le matrici antisimmetriche che hanno lo stesso polinomio caratteristico di $A$. Hai appena dimostrato che $A$ è ortogonalmente simile a una certa matrice $B$ (quella con tanti zeri) che risulta essere la stessa per tutte le matrici antisimmetriche che hanno lo stesso polinomio caratteristico di $A$. Segue che tutte le matrici antisimmetriche con lo stesso polinomio caratteristico di $A$ sono ortogonalmente simili a $B$, quindi sono ortogonalmente simili tra loro (la similitudine ortogonale è una relazione di equivalenza).
"Martino":
Ok, ridefinisci la base dividendo per la norma dei vettori. Il termine $a^2+b^2+c^2$ è lo stesso per tutte le matrici antisimmetriche che hanno lo stesso polinomio caratteristico di $A$. Hai appena dimostrato che $A$ è ortogonalmente simile a una certa matrice $B$ (quella con tanti zeri) che risulta essere la stessa per tutte le matrici antisimmetriche che hanno lo stesso polinomio caratteristico di $A$. Segue che tutte le matrici antisimmetriche con lo stesso polinomio caratteristico di $A$ sono ortogonalmente simili a $B$, quindi sono ortogonalmente simili tra loro (la similitudine ortogonale è una relazione di equivalenza).
Ok, non mi è chiaro solo che tutte le matrici antisimmetriche con lo stesso polinomio caratteristico di A sono ortogonalmente simili a B, c'è non ho capito come fai a dirlo ecco se mi potresti dire meglio, grazie mille di nuovo.
Hai fatto il conto con
$A = ((0,a,b),(-a,0,c),(-b,-c,0))$
ottenendo che è ortogonalmente simile (dopo aver normalizzato i vettori che ti ho indicato) a
$B = ((0,0,0),(0,0,a^2+b^2+c^2),(0,-a^2-b^2-c^2,0))$
Ora se prendi un'altra matrice antisimmetrica con lo stesso polinomio caratteristico di $A$ allora questa sarà del tipo
$A_0 = ((0,a_0,b_0),(-a_0,0,c_0),(-b_0,-c_0,0))$
e tale che $a_0^2+b_0^2+c_0^2 = a^2+b^2+c^2$. Se fai il conto che hai fatto per $A$ con la matrice $A_0$ ottieni una matrice $B_0$ che però è esattamente uguale a $B$.
$A = ((0,a,b),(-a,0,c),(-b,-c,0))$
ottenendo che è ortogonalmente simile (dopo aver normalizzato i vettori che ti ho indicato) a
$B = ((0,0,0),(0,0,a^2+b^2+c^2),(0,-a^2-b^2-c^2,0))$
Ora se prendi un'altra matrice antisimmetrica con lo stesso polinomio caratteristico di $A$ allora questa sarà del tipo
$A_0 = ((0,a_0,b_0),(-a_0,0,c_0),(-b_0,-c_0,0))$
e tale che $a_0^2+b_0^2+c_0^2 = a^2+b^2+c^2$. Se fai il conto che hai fatto per $A$ con la matrice $A_0$ ottieni una matrice $B_0$ che però è esattamente uguale a $B$.
"Martino":
Hai fatto il conto con
$A = ((0,a,b),(-a,0,c),(-b,-c,0))$
ottenendo che è ortogonalmente simile (dopo aver normalizzato i vettori che ti ho indicato) a
$B = ((0,0,0),(0,0,a^2+b^2+c^2),(0,-a^2-b^2-c^2,0))$
Ora se prendi un'altra matrice antisimmetrica con lo stesso polinomio caratteristico di $A$ allora questa sarà del tipo
$A_0 = ((0,a_0,b_0),(-a_0,0,c_0),(-b_0,-c_0,0))$
e tale che $a_0^2+b_0^2+c_0^2 = a^2+b^2+c^2$. Se fai il conto che hai fatto per $A$ con la matrice $A_0$ ottieni una matrice $B_0$ che però è esattamente uguale a $B$.
La matrice che ti esce con la base ortonormalizzata in realtà è: $B=((0,0,0),(0,0,sqrt(a^2+b^2+c^2)),(0,-sqrt(a^2+b^2+c^2),0))$ però ho capito il ragionamento. Solo una curiosità come ti è venuto in mente di prendere proprio i vettori $((c),(-b),(a)), ((0),(a),(b)), ((-a^2-b^2),(-bc),(ac))$ (poi ortonormalizzandoli), ce che criterio hai usato per sceglierli affinchè dimostrassi l'esercizio?
Ho cercato un generatore $v$ del nucleo di $A$, poi ho cercato una base ortogonale di $RR^3$ che contenesse $v$.
Comunque rimane da fare il caso in cui $a=b=0$, che è escluso dalla discussione di cui sopra.
"Martino":
Comunque rimane da fare il caso in cui $a=b=0$, che è escluso dalla discussione di cui sopra.
Vabbe il caso in cui $a=b=a_0=b_0=0$ basta pensare che siccome i polinomi caratteristici sono uguali $c^2=c_0^2$ da cui $c_0=c$ e quindi la base è la canonica di $RR^3$ (ovvero $((1),(0),(0)),((0),(1),(0)),((0),(0),(1))$) oppure $c_0=-c$ e in questo caso la base $((1),(0),(0)),((0),(0),(1)),((0),(1),(0))$.
Comunque ricollegandomi a quello che hai scritto prima, come mai hai scelto un vettore del nucleo?
Perché se nella base c'è un vettore del nucleo allora nella matrice dell'operatore in quella base ci sarà una colonna di zeri.
"Martino":
Perché se nella base c'è un vettore del nucleo allora nella matrice dell'operatore in quella base ci sarà una colonna di zeri.
Ok, però a prima vista non mi sembra che questo possa risultare utile per l'esercizio
Guarda, l'idea generale è che il modo più facile di capire cosa fa una matrice è diagonalizzarla, cioè trovare una base di autovettori. In molti casi, la matrice non è diagonalizzabile, ma ha comunque autovettori, ed è una buona idea cercare basi che perlomeno contengano "tanti" autovettori. Un vettore non nullo del nucleo di $A$ è un autovettore (con autovalore $0$). Inoltre qui stai parlando di similitudine ortogonale quindi la base del cambio dev'essere una base ortogonale. Per questi motivi ho cercato una base ortogonale contenente un autovettore.
"Martino":
Guarda, l'idea generale è che il modo più facile di capire cosa fa una matrice è diagonalizzarla, cioè trovare una base di autovettori. In molti casi, la matrice non è diagonalizzabile, ma ha comunque autovettori, ed è una buona idea cercare basi che perlomeno contengano "tanti" autovettori. Un vettore non nullo del nucleo di $A$ è un autovettore (con autovalore $0$). Inoltre qui stai parlando di similitudine ortogonale quindi la base del cambio dev'essere una base ortogonale. Per questi motivi ho cercato una base ortogonale contenente un autovettore.
Ok, il fatto della base ortogonale e dell'autovettore l'ho capita. Volevo sapere se hai scelto gli altri due vettori (ovvero $((0),(a),(b)),((-a^2-b^2),(-bc),(ac))$), oltre al fatto di essere tutti ortogonali, con qualche altro criterio affinché ti uscisse proprio una matrice che ti permettesse di risolvere l'esercizio oppure "è andata di fortuna" che ti sia uscita una matrice fatta proprio ad hoc.
Il vettore $(0,a,b)$ l'ho scelto a occhio perché è facilissimo vedere che è ortogonale al primo. Il terzo vettore l'ho trovato scrivendo un vettore generico e imponendo che fosse ortogonale ai primi due. Ma prova pure a scegliere come secondo vettore un'altra cosa, probabilmente alla fine ti esce esattamente la stessa matrice. Prova
"Martino":
Il vettore $(0,a,b)$ l'ho scelto a occhio perché è facilissimo vedere che è ortogonale al primo. Il terzo vettore l'ho trovato scrivendo un vettore generico e imponendo che fosse ortogonale ai primi due. Ma prova pure a scegliere come secondo vettore un'altra cosa, probabilmente alla fine ti esce esattamente la stessa matrice. Prova
Ok, grazie mille dell'aiutone
, non ci avrei mai pensato a fare una cosa del genere, mi ero concentrato più su mettere assieme similitudine e ortogonalità proprio come vengono presentate normalmente.
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