Matrici antisimmetriche $3xx3$ ortogonalmente simili
Siano $A$ e $B$ due matrici antisimmetriche in $M_3$($RR$). Dimostrare che se $A$ e $B$ hanno stesso polinomio caratteristico sono ortogonalmente simili.
Trascrivo qua sotto il ragionamento parziale che ho fatto ma che non sono riuscito a concludere:
Innanzitutto la prima cosa che ho osservato che siccome l'ordine delle matrici antisimmetriche è $3$ (ovvero dispari) si ha che il determinante è nullo (si dimostra) da cui ho subito dedotto che $0$ è autovalore. Un altra proprietà del polinomio caratteristico delle matrici antisimmetriche è che se $k$ è un autovalore allora anche $-k$ è un autovalore. Analizzando il polinomio caratteristico di una matrice generica antisimmetrica di ordine $3$ così fatta $((0,a,b),(-a,0,c),(-b,-c,0))$ (che è $-x*(x^2+a^2+b^2+c^2)$) ho notato che, a meno del caso in cui il polinomio caratteristico è $-x^3$ allora $a^2+b^2+c^2=0$ ma poiché siamo nel campo dei numeri reali necessariamente $a=b=c=0$ da cui la matrice è automaticamente nulla, oltre all'autovalore $0$ ci sono altri due autovalori che sono distinti e complessi (in particolare sono opposti in segno come detto prima per le proprietà del polinomio caratteristico delle matrici antisimmetriche). Quindi ho pensato prima di studiare le due matrici nel campo dei numeri complessi per poi passare a quello dei reali. Infatti si può dimostrare (non sto qui a fare la dimostrazione) che se due matrici sono simili nel campo dei numeri complessi allora lo sono anche nei reali. Quindi appunto i polinomi caratteristici (essendo uguali per ipotesi) delle due matrici nei numeri complessi è $x(x-k)(x+k)$ da cui deduco subito che entrambe le matrici sono diagonalizzabili e avendo lo stesso polinomio caratteristico sono simili e poi da qui, per la dimostrazione citata prima, si deduceva che erano simili anche sui reali. Il problema ora si pone nel fatto che devo dimostrare non solo che siano simili ma che la matrice che li rende "simili" è anche ortogonale (infatti dice ortogonalmente simili). Mi era venuta in mente l'idea che appunto se dimostrassi che le due matrici sono ortogonalmente simili nei complessi lo sono anche nei reali però neanche nei complessi riesco a mostrare che la matrice di cambio di base è ortogonale e da qua il dilemma. Inoltre poiché le matrici antisimmetriche hanno rango sempre pari allora il rango delle due matrici antisimmetriche di ordine $3$ è $2$ oppure $0$. Nel caso una delle due matrici ha rango $0$ (quindi è nulla) il polinomio caratteristico è $-x^3$ ma poiché i polinomi caratteristici sono uguali anche l'altra matrice è nulla e quindi anche essa ha rango $0$, mentre se una delle due ha rango $2$ anche l altra deve avere rango $2$ (poiché se avesse rango $0$ per quanto detto prima anche l'altra matrice dovrebbe avere rango $0$, assurdo). In ogni caso le due matrici antisimmetriche hanno lo stesso rango e quindi sono congruenti, non so quanto possa essere utile questa proprietà ai fini del problema ma la dico lo stesso.
Trascrivo qua sotto il ragionamento parziale che ho fatto ma che non sono riuscito a concludere:
Innanzitutto la prima cosa che ho osservato che siccome l'ordine delle matrici antisimmetriche è $3$ (ovvero dispari) si ha che il determinante è nullo (si dimostra) da cui ho subito dedotto che $0$ è autovalore. Un altra proprietà del polinomio caratteristico delle matrici antisimmetriche è che se $k$ è un autovalore allora anche $-k$ è un autovalore. Analizzando il polinomio caratteristico di una matrice generica antisimmetrica di ordine $3$ così fatta $((0,a,b),(-a,0,c),(-b,-c,0))$ (che è $-x*(x^2+a^2+b^2+c^2)$) ho notato che, a meno del caso in cui il polinomio caratteristico è $-x^3$ allora $a^2+b^2+c^2=0$ ma poiché siamo nel campo dei numeri reali necessariamente $a=b=c=0$ da cui la matrice è automaticamente nulla, oltre all'autovalore $0$ ci sono altri due autovalori che sono distinti e complessi (in particolare sono opposti in segno come detto prima per le proprietà del polinomio caratteristico delle matrici antisimmetriche). Quindi ho pensato prima di studiare le due matrici nel campo dei numeri complessi per poi passare a quello dei reali. Infatti si può dimostrare (non sto qui a fare la dimostrazione) che se due matrici sono simili nel campo dei numeri complessi allora lo sono anche nei reali. Quindi appunto i polinomi caratteristici (essendo uguali per ipotesi) delle due matrici nei numeri complessi è $x(x-k)(x+k)$ da cui deduco subito che entrambe le matrici sono diagonalizzabili e avendo lo stesso polinomio caratteristico sono simili e poi da qui, per la dimostrazione citata prima, si deduceva che erano simili anche sui reali. Il problema ora si pone nel fatto che devo dimostrare non solo che siano simili ma che la matrice che li rende "simili" è anche ortogonale (infatti dice ortogonalmente simili). Mi era venuta in mente l'idea che appunto se dimostrassi che le due matrici sono ortogonalmente simili nei complessi lo sono anche nei reali però neanche nei complessi riesco a mostrare che la matrice di cambio di base è ortogonale e da qua il dilemma. Inoltre poiché le matrici antisimmetriche hanno rango sempre pari allora il rango delle due matrici antisimmetriche di ordine $3$ è $2$ oppure $0$. Nel caso una delle due matrici ha rango $0$ (quindi è nulla) il polinomio caratteristico è $-x^3$ ma poiché i polinomi caratteristici sono uguali anche l'altra matrice è nulla e quindi anche essa ha rango $0$, mentre se una delle due ha rango $2$ anche l altra deve avere rango $2$ (poiché se avesse rango $0$ per quanto detto prima anche l'altra matrice dovrebbe avere rango $0$, assurdo). In ogni caso le due matrici antisimmetriche hanno lo stesso rango e quindi sono congruenti, non so quanto possa essere utile questa proprietà ai fini del problema ma la dico lo stesso.
Risposte
Ok ma non so bene cosa intendi con "presentate normalmente". Se ci pensi due matrici simili sono proprio ottenute l'una dall'altra tramite un cambio di base, e in questo caso stai chiedendo che la base del cambio sia ortogonale. Quindi si cerca una base ortogonale che porti la matrice a una forma più facile da trattare, che è quello che ti ho suggerito. Prego, ciao!
"Martino":
Ok ma non so bene cosa intendi con "presentate normalmente". Se ci pensi due matrici simili sono proprio ottenute l'una dall'altra tramite un cambio di base, e in questo caso stai chiedendo che la base del cambio sia ortogonale. Quindi si cerca una base ortogonale che porti la matrice a una forma più facile da trattare, che è quello che ti ho suggerito. Prego, ciao!
Nel senso che invece di cercare proprio una base specifica pensavo di usare teoremi, lemmi e quant'altro su similitudine e matrici ortogonali e incastrandoli con qualche idea ci si arrivava, ma di partire da una base dato che comunque la matrice era generica non mi pareva a primo occhio possibilmente utile per arrivare a una forma matriciale più facile da trattare e che mi avrebbe portato alla soluzione.
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