Matrici
Ho bisogno del vostro aiuto... vi devo fare delle domande:
1) E' sempre vero che se il prodotto di due matrici quadrate A,B € (appartenente) M2,2 (R) è a coefficienti interi, allora A e B sono anch'esse a coefficienti interi?
2) E' sempre vero che se il prodotto di due matrici quadrate A,B € (appartenente) M2,2 (R) è a coefficienti positivi come la matrice A, allora B è anch'essa a coefficienti positivi?
3) Esistono matrici invertibili 2 x 2 tali che X e -X siano simili?
4) Sia A una matrice 2 x 2 e S una sua riduzione a scala (eliminazione di gauss) eseguita senza scambi di righe. E' sempre vero che la traccia di A è uguale a quella di S?
Grazie in anticipo
1) E' sempre vero che se il prodotto di due matrici quadrate A,B € (appartenente) M2,2 (R) è a coefficienti interi, allora A e B sono anch'esse a coefficienti interi?
2) E' sempre vero che se il prodotto di due matrici quadrate A,B € (appartenente) M2,2 (R) è a coefficienti positivi come la matrice A, allora B è anch'essa a coefficienti positivi?
3) Esistono matrici invertibili 2 x 2 tali che X e -X siano simili?
4) Sia A una matrice 2 x 2 e S una sua riduzione a scala (eliminazione di gauss) eseguita senza scambi di righe. E' sempre vero che la traccia di A è uguale a quella di S?
Grazie in anticipo
Risposte
Le prime due mi sembrano pressoché ovvie. Per la terza: due matrici simili hanno necessariamente gli stessi autovalori. Invece gli autovalori di -X sono esattamente gli autovalori di X cambiati di segno.
Grazie dissonance...
Però a me servirebbero delle dimostrazioni (anche se sono ovvie).
Però a me servirebbero delle dimostrazioni (anche se sono ovvie).
Per la 2)
Siano
$A=((1,2),(3,4))$ e $B=((-1,1),(1,0))$
Si ha: $AB=((1,1),(1,3))$
Quindi la risposta è negativa!
Per la 1)
$A=((1/2,0),(0,0))$ e $B=((2,0),(0,0))$
Si ha: $AB=((1,0),(0,0))$
Quindi la risposta è negativa anche in questo caso
Siano
$A=((1,2),(3,4))$ e $B=((-1,1),(1,0))$
Si ha: $AB=((1,1),(1,3))$
Quindi la risposta è negativa!
Per la 1)
$A=((1/2,0),(0,0))$ e $B=((2,0),(0,0))$
Si ha: $AB=((1,0),(0,0))$
Quindi la risposta è negativa anche in questo caso
la 4 deserto la sai?
Scusate il ritardo... 
Per la 4) la risposta è no. Non è una cosa che stupisce: le operazioni elementari del metodo a eliminazione di Gauss non trasformano le matrici in altre simili, e quindi possono tranquillamente alterare la traccia. Un esempio facile è $[[1,1],[1,1]]$: dopo la riduzione di Gauss, diventa $[[1, 1], [0,0]]$. La prima matrice ha traccia 2, la seconda ha traccia 1.
Per la 4) la risposta è no. Non è una cosa che stupisce: le operazioni elementari del metodo a eliminazione di Gauss non trasformano le matrici in altre simili, e quindi possono tranquillamente alterare la traccia. Un esempio facile è $[[1,1],[1,1]]$: dopo la riduzione di Gauss, diventa $[[1, 1], [0,0]]$. La prima matrice ha traccia 2, la seconda ha traccia 1.
Per la 1) prendi la matrice:
$[[1/sqrt2, 1/sqrt2], [1/sqrt2, 1/sqrt2]]$ e moltiplicala per se stessa...
Se vuoi matrici diverse allora:
$[[1/sqrt2, 1/sqrt2], [1/sqrt2, 1/sqrt2]]$ e $[[1/sqrt2, -1/sqrt2], [1/sqrt2, -1/sqrt2]]$
$[[1/sqrt2, 1/sqrt2], [1/sqrt2, 1/sqrt2]]$ e moltiplicala per se stessa...
Se vuoi matrici diverse allora:
$[[1/sqrt2, 1/sqrt2], [1/sqrt2, 1/sqrt2]]$ e $[[1/sqrt2, -1/sqrt2], [1/sqrt2, -1/sqrt2]]$
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