Matrici
siano p e q due interi positivi tali che $n=p+q$ e sia $B$ la matrice $nxn$ definita come
$((I_p,0),(0,-I_q))$
dove si è indicata con $I_l$ la matrice identità $lxl$ Sia $G$ l'insieme delle matrici $X$ reali tali che $BX+(X)^t B=0$
dove $X^t$ è la trasposta di $X$.
dimostrare che $G$ contiene matrici nilpotenti non nulle e si calcoli il massimo ordine di nilpotenza di una tale matrice $X$
.
$((I_p,0),(0,-I_q))$
dove si è indicata con $I_l$ la matrice identità $lxl$ Sia $G$ l'insieme delle matrici $X$ reali tali che $BX+(X)^t B=0$
dove $X^t$ è la trasposta di $X$.
dimostrare che $G$ contiene matrici nilpotenti non nulle e si calcoli il massimo ordine di nilpotenza di una tale matrice $X$
.
Risposte
Scusa ma questa:
non è la matrice identica?
"miuemia":
$((I_p,0),(0,I_q))$
non è la matrice identica?
si scusa ho corretto
xkè scusa che ti serve? non è definito il determinate per matrici non quadrate
non si calcola. per parlare di determinante hai bisogno di una matrice quadrata.
Poi scusa ma cosa centra con la domanda del topic?
Poi scusa ma cosa centra con la domanda del topic?
allora qualche idea a riguardo?
$B$ è un prodotto di matrici elementari (di Gauss). Moltiplicata a sinistra, cambia il segno delle ultime $q$ righe lasciando inalterate le prime $p$. Moltiplicata a destra fa lo stesso lavoro sulle colonne.
Però mi pare che la traccia dell'esercizio sia sbagliata. Se dici $BX=0$ necessariamente $X=0$ dato che $B$ è invertibile. Probabilmente $G={X\ "mat. reale"\ ntimesn\ |\ BX=X^TB}$. Giusto? Se fosse così, una matrice $X$ sarebbe caratterizzata dall'essere $BXB=X^T$, ovvero cambiando il segno alle ultime $q$ righe e $q$ colonne otteniamo la matrice trasposta. Ma aspetto conferme.
Però mi pare che la traccia dell'esercizio sia sbagliata. Se dici $BX=0$ necessariamente $X=0$ dato che $B$ è invertibile. Probabilmente $G={X\ "mat. reale"\ ntimesn\ |\ BX=X^TB}$. Giusto? Se fosse così, una matrice $X$ sarebbe caratterizzata dall'essere $BXB=X^T$, ovvero cambiando il segno alle ultime $q$ righe e $q$ colonne otteniamo la matrice trasposta. Ma aspetto conferme.
si ho corretto la traccia. avevo sbagliato a trascrivere
Se non ho preso abbagli clamorosi $G$ è esattamente l'insieme delle matrici antisimmetriche. E ho paura che l'unica matrice antisimmetrica nilpotente sia quella nulla.
Forse ho davvero preso un abbaglio.
Forse ho davvero preso un abbaglio.
Forse non sono proprio le matrici antisimmetriche ma qualcosa del genere:
Se $B=((I_p, 0), (0, -I_q))$, $p+q=n$, e $X=((X_{ptimesp}, X_{ptimesq}),(X_{qtimesp}, X_{qtimesq}))$, allora:
$BX=((I_p, 0), (0, -I_q))((X_{ptimesp}, X_{ptimesq}),(X_{qtimesp}, X_{qtimesq}))=$(moltiplicando per blocchi)$=((X_{ptimesp}, X_{ptimesq}),(-X_{qtimesp},-X_{qtimesq}))$;
rifacciamo tutto su $X^T=((X_{ptimesp}^T, X_{qtimesp}^T),(X_{ptimesq}^T, X_{qtimesq}^T))$ moltiplicando a destra:
$X^TB=((X_{ptimesp}^T, X_{qtimesp}^T),(X_{ptimesq}^T, X_{qtimesq}^T))((I_p, 0), (0, -I_q))=((X_{ptimesp}^T, -X_{qtimesp}^T),(X_{ptimesq}^T, -X_{qtimesq}^T))$.
Quindi $BX=-X^TB$ se e solo se:
${(X_{ptimesp}=-X_{ptimesp}^T), (X_{ptimesq}=X_{qtimesp}^T), (X_{qtimesp}=X_{ptimesq}^T),(X_{qtimesq}=-X_{qtimesq}^T):}$.
(Attenzione perché non sono sicurissimo dei conti).
Se $B=((I_p, 0), (0, -I_q))$, $p+q=n$, e $X=((X_{ptimesp}, X_{ptimesq}),(X_{qtimesp}, X_{qtimesq}))$, allora:
$BX=((I_p, 0), (0, -I_q))((X_{ptimesp}, X_{ptimesq}),(X_{qtimesp}, X_{qtimesq}))=$(moltiplicando per blocchi)$=((X_{ptimesp}, X_{ptimesq}),(-X_{qtimesp},-X_{qtimesq}))$;
rifacciamo tutto su $X^T=((X_{ptimesp}^T, X_{qtimesp}^T),(X_{ptimesq}^T, X_{qtimesq}^T))$ moltiplicando a destra:
$X^TB=((X_{ptimesp}^T, X_{qtimesp}^T),(X_{ptimesq}^T, X_{qtimesq}^T))((I_p, 0), (0, -I_q))=((X_{ptimesp}^T, -X_{qtimesp}^T),(X_{ptimesq}^T, -X_{qtimesq}^T))$.
Quindi $BX=-X^TB$ se e solo se:
${(X_{ptimesp}=-X_{ptimesp}^T), (X_{ptimesq}=X_{qtimesp}^T), (X_{qtimesp}=X_{ptimesq}^T),(X_{qtimesq}=-X_{qtimesq}^T):}$.
(Attenzione perché non sono sicurissimo dei conti).
dissonance, sei sicuro che hai messo la relazione corretta?
La relazione è $BX+X^T B=0$. Tu hai analizzato la relazione $BX=X^T B$.
La relazione è $BX+X^T B=0$. Tu hai analizzato la relazione $BX=X^T B$.
Vero. Ho corretto, adesso dovremmo esserci. A parole, una matrice è in $G$ sse è formata in questa maniera:
$X=((X_{ptimesp}, X_{ptimesq}), (X_{qtimesp}, X_{qtimesq}))$ dove i blocchi principali $X_{ptimesp}, X_{qtimesq}$ sono antisimmetrici mentre i blocchi $X_{ptimesq}, X_{qtimesp}$ sono simmetrici.
Andando un po' a ruota libera, io direi che quindi dobbiamo poter scrivere la nostra matrice $X$ come
$X=X_{-} +X_+=((X_{ptimesp}, 0), (0, X_{qtimesq}))+((0, X_{ptimesq}), (X_{qtimesp}, 0))$
e la matrice $X_-$ è antisimmetrica, $X_+$ è simmetrica.
Chissà se queste matrici commutano. Recentemente si è parlato del fatto che in questo caso, gli autovalori di $X$ sarebbero formati dalla somma di un autovalore di $X_{-}$ e di uno di $X_{+}$.
$X=((X_{ptimesp}, X_{ptimesq}), (X_{qtimesp}, X_{qtimesq}))$ dove i blocchi principali $X_{ptimesp}, X_{qtimesq}$ sono antisimmetrici mentre i blocchi $X_{ptimesq}, X_{qtimesp}$ sono simmetrici.
Andando un po' a ruota libera, io direi che quindi dobbiamo poter scrivere la nostra matrice $X$ come
$X=X_{-} +X_+=((X_{ptimesp}, 0), (0, X_{qtimesq}))+((0, X_{ptimesq}), (X_{qtimesp}, 0))$
e la matrice $X_-$ è antisimmetrica, $X_+$ è simmetrica.
Chissà se queste matrici commutano. Recentemente si è parlato del fatto che in questo caso, gli autovalori di $X$ sarebbero formati dalla somma di un autovalore di $X_{-}$ e di uno di $X_{+}$.
ok perfetto allora per far vedere che ci sono delle X nilpotenti non nulle posso prendere una X in modo che i blocchi simmetrici siano nulli e quindi la matrice sia antisimmetrica e la scelgo in modo che abbia solo l 'autovalore nullo, è questo è possibile farlo in quanto una matrice antisimmetrica reale puòavere cm autovalori quello nullo oppure immaginari puri
Sì, può funzionare. Se prendi $X=((X_{ptimesp}, 0), (0, X_{qtimesq}))$, allora per ogni intero $k$ $X^k=((X_{ptimesp}^k, 0), (0, X_{qtimesq}^k))$. Bisogna allora costruire delle matrici antisimmetriche e nilpotenti $X_{ptimesp}, X_{qtimesq}$, determinarne il massimo grado di nilpotenza, e infine calcolarne il minimo comune multiplo.
[edit]: in rosso una cosa che, ripensandoci, non mi convince molto. Così calcoliamo il massimo grado di nilpotenza delle matrici con i blocchi simmetrici nulli. Non lo so se questo è il massimo grado di tutte le matrici in $G$.
[edit]: in rosso una cosa che, ripensandoci, non mi convince molto. Così calcoliamo il massimo grado di nilpotenza delle matrici con i blocchi simmetrici nulli. Non lo so se questo è il massimo grado di tutte le matrici in $G$.
"dissonance":
Sì, può funzionare. Se prendi $X=((X_{ptimesp}, 0), (0, X_{qtimesq}))$, allora per ogni intero $k$ $X^k=((X_{ptimesp}^k, 0), (0, X_{qtimesq}^k))$. Bisogna allora costruire delle matrici antisimmetriche e nilpotenti $X_{ptimesp}, X_{qtimesq}$, .
Rimarco una cosa: purtroppo l'unica matrice antisimmetrica nilpotente è quella nulla.
Infatti ogni matrice antisimmetrica non nulla è simile a una matrice a blocchi del tipo
$((S,0,0,...,0,0,...,0),(0,S,0,...,0,0,...,0),(0,0,S,...,0,0,...,0),(...,...,...,...,...,...,...,...),(0,0,0,...,S,0,...,0),(0,0,0,...,0,0,...,0),(...,...,...,...,...,...,...,...),(0,0,0,...,0,0,...,0))$
dove $S=((0,1),(-1,0))$. Ed è chiaro che una tale matrice non è nilpotente.
PS. Ma come si fanno i puntini verticali e diagonali?
giusto... quindi ancora non si è dimostrato che in $G$ ci sono matrici nilpotenti non nulle
"Martino":
PS. Ma come si fanno i puntini verticali e diagonali?
vdots per i punti verticali e ddots per quelli in diagonale
Saluti, Ermanno.
"Nidhogg":
[quote="Martino"]PS. Ma come si fanno i puntini verticali e diagonali?
vdots per i punti verticali e ddots per quelli in diagonale
Saluti, Ermanno.[/quote]
Ah già che scemo, io facevo vdot e ddot
Grazie.
E se invece prendessimo $X=X_{-} +X_+=((X_{ptimesp}, 0), (0, X_{qtimesq}))+((0, X_{ptimesq}), (X_{qtimesp}, 0))$ con $X_{-}$ (la parte antisimmetrica) nulla? Facendo il prodotto $X^2=X_{+}X_{+}=((X_{qtimesp}^TX_{qtimesp}, 0), (0, X_{ptimesq}^TX_{ptimesq}))$. Le matrici di forma $A^TA$ hanno qualche proprietà particolare riguardo gli autovalori o mi sbaglio?
Ci avevo pensato anch'io 
Il problema è che una matrice della forma $A^T A$ è simmetrica, e una matrice reale simmetrica non nulla non può essere nilpotente (perché è diagonalizzabile).
Mi sa che non possiamo annullare né i blocchi diagonali né gli altri due..
"dissonance":
Le matrici di forma $A^TA$ hanno qualche proprietà particolare riguardo gli autovalori o mi sbaglio?
Il problema è che una matrice della forma $A^T A$ è simmetrica, e una matrice reale simmetrica non nulla non può essere nilpotente (perché è diagonalizzabile).
Mi sa che non possiamo annullare né i blocchi diagonali né gli altri due..
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