Matrici 3x3 e spazio da essa generato
Mi trovo il seguente problema:
Verificare che le matrici quadrate di ordine 3 triangolari superiori sono un
sottospazio vettoriale di M(3, 3;R), (dove R indica il campo reale) di dimensione 6.
da ciò che ho capito M(3,3,R), essendo la componente z non definita, può essere identificata con la retta nello spazio
parallela all'asse z, o con un punto qualsiasi ad essa appartenente.
una matrice triangolare superiore 3x3 associata ad un sistema dà una risultato univoco che può essere:
-impossibile, se il rango è superiore al numero di termini noti
-determinata se il rango è uguale al numero di termini noti
ma non riesco comunque a capire perchè esse debbano constituire un sottospazio di M così com'è definito.
Verificare che le matrici quadrate di ordine 3 triangolari superiori sono un
sottospazio vettoriale di M(3, 3;R), (dove R indica il campo reale) di dimensione 6.
da ciò che ho capito M(3,3,R), essendo la componente z non definita, può essere identificata con la retta nello spazio
parallela all'asse z, o con un punto qualsiasi ad essa appartenente.
una matrice triangolare superiore 3x3 associata ad un sistema dà una risultato univoco che può essere:
-impossibile, se il rango è superiore al numero di termini noti
-determinata se il rango è uguale al numero di termini noti
ma non riesco comunque a capire perchè esse debbano constituire un sottospazio di M così com'è definito.
Risposte
quindi lo spazio generato dall'insieme delle matrici triangolari superiori e' definibile come segue:
V= span{ $((1,0,0),(0,0,0),(0,0,0))$;$((0,1,0),(0,0,0),(0,0,0))$;$((0,0,1),(0,0,0),(0,0,0))$;$((0,0,0),(0,1,0),(0,0,0))$;$((0,0,0),(0,0,1),(0,0,0))$;$((0,0,0),(0,0,0),(0,0,1))$}
le 6 matrici che ho scritto quindi costituiscono la base di tale spazio, nel senso che dalle loro combinazioni lineari posso ottenere tutte le matrici triangolari
superiori, suppongo che la matrice nulla si ottienga con coefficienti nulli.
ora, quello che io so per definizione di sottospazio è che:
se l'insieme delle matrici triangolari superiori di ordine 3 sono sottospazio di M(3,3,R) allora vuol dire che da una famiglia di elementi del tipo M
posso ottenere tutte le matrici triangolari superiori di ordine 3,
ma non capisco come...
V= span{ $((1,0,0),(0,0,0),(0,0,0))$;$((0,1,0),(0,0,0),(0,0,0))$;$((0,0,1),(0,0,0),(0,0,0))$;$((0,0,0),(0,1,0),(0,0,0))$;$((0,0,0),(0,0,1),(0,0,0))$;$((0,0,0),(0,0,0),(0,0,1))$}
le 6 matrici che ho scritto quindi costituiscono la base di tale spazio, nel senso che dalle loro combinazioni lineari posso ottenere tutte le matrici triangolari
superiori, suppongo che la matrice nulla si ottienga con coefficienti nulli.
ora, quello che io so per definizione di sottospazio è che:
se l'insieme delle matrici triangolari superiori di ordine 3 sono sottospazio di M(3,3,R) allora vuol dire che da una famiglia di elementi del tipo M
posso ottenere tutte le matrici triangolari superiori di ordine 3,
ma non capisco come...
mmm... temo ci sia frainteso,
riporto il testo che tanto mi sta facendo dannare:
"Verificare che le matrici quadrate di ordine 3 triangolari superiori sono un
sottospazio vettoriale di M(3, 3;R) di dimensione 6."
il testo non denota M come l'insieme delle matrici 3x3 su campo reale,
in tal caso, mi è facile comprendere che le matrici triangolari superiori 3x3 sono incluse nello spazio delle matrici 3x3
il testo, denota M come un generico punto dello spazio dove x=3, y=3, e z qualsiasi in R
a questo punto riporto anche la soluzione descritta:
Sia A = (aij) con 1≤i, j≤3 una matrice quadrata di ordine
3. Essa è triangolare superiore se aij=0 peri>j.Quindi le matricitri triangolari superiori
sono soluzioni di un sistema lineare omogeneo, e quindi sono un sottospazio di M(3, 3;R).
che comunque non mi chiarisce il significato del tutto...
riporto il testo che tanto mi sta facendo dannare:
"Verificare che le matrici quadrate di ordine 3 triangolari superiori sono un
sottospazio vettoriale di M(3, 3;R) di dimensione 6."
il testo non denota M come l'insieme delle matrici 3x3 su campo reale,
in tal caso, mi è facile comprendere che le matrici triangolari superiori 3x3 sono incluse nello spazio delle matrici 3x3
il testo, denota M come un generico punto dello spazio dove x=3, y=3, e z qualsiasi in R
a questo punto riporto anche la soluzione descritta:
Sia A = (aij) con 1≤i, j≤3 una matrice quadrata di ordine
3. Essa è triangolare superiore se aij=0 peri>j.Quindi le matricitri triangolari superiori
sono soluzioni di un sistema lineare omogeneo, e quindi sono un sottospazio di M(3, 3;R).
che comunque non mi chiarisce il significato del tutto...
mmm... temo ci sia frainteso,
riporto il testo che tanto mi sta facendo dannare:
"Verificare che le matrici quadrate di ordine 3 triangolari superiori sono un
sottospazio vettoriale di M(3, 3;R) di dimensione 6."
il testo non denota M come l'insieme delle matrici 3x3 su campo reale,
in tal caso, mi è facile comprendere che le matrici triangolari superiori 3x3 sono incluse nello spazio delle matrici 3x3
il testo, denota M come un generico punto dello spazio dove x=3, y=3, e z qualsiasi in R
a questo punto riporto anche la soluzione descritta:
Sia A = (aij) con 1≤i, j≤3 una matrice quadrata di ordine
3. Essa è triangolare superiore se aij=0 peri>j.Quindi le matricitri triangolari superiori
sono soluzioni di un sistema lineare omogeneo, e quindi sono un sottospazio di M(3, 3;R).
che comunque non mi chiarisce il significato del tutto...
riporto il testo che tanto mi sta facendo dannare:
"Verificare che le matrici quadrate di ordine 3 triangolari superiori sono un
sottospazio vettoriale di M(3, 3;R) di dimensione 6."
il testo non denota M come l'insieme delle matrici 3x3 su campo reale,
in tal caso, mi è facile comprendere che le matrici triangolari superiori 3x3 sono incluse nello spazio delle matrici 3x3
il testo, denota M come un generico punto dello spazio dove x=3, y=3, e z qualsiasi in R
a questo punto riporto anche la soluzione descritta:
Sia A = (aij) con 1≤i, j≤3 una matrice quadrata di ordine
3. Essa è triangolare superiore se aij=0 peri>j.Quindi le matricitri triangolari superiori
sono soluzioni di un sistema lineare omogeneo, e quindi sono un sottospazio di M(3, 3;R).
che comunque non mi chiarisce il significato del tutto...
bhe... sono contento di vedere che a volte i testi di alcuni eserciziari sono ambigui non solo a me;
in ogni caso, l'esercizio fa parte di un file pdf del politecnico di torino, e contiene anche la soluzione che ho
riportato alla lettera.
direi che sorvolerò su questo esercizio, mi rendo conto che a volte è meglio evitare di accanirsi...
in ogni caso, se per curiosità, volessi dare un'occhiata personalmente al file ti linko l'indirizzo.
grazie per il supporto.
in ogni caso, l'esercizio fa parte di un file pdf del politecnico di torino, e contiene anche la soluzione che ho
riportato alla lettera.
direi che sorvolerò su questo esercizio, mi rendo conto che a volte è meglio evitare di accanirsi...
in ogni caso, se per curiosità, volessi dare un'occhiata personalmente al file ti linko l'indirizzo.
grazie per il supporto.
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