Matrice rotazione speciale

[LucaB12]

Ciao a tutti! Studiando per l'esame di geometria mi sono accorto di essere un po' confuso sull'argomento in oggetto. Sarei grato se qualcuno avesse voglia di darmi questa dritta
Se mi viene data un'equazione di una conica contenente il termine misto di secondo grado xy, quindi non in forma canonica e volessi portarla in forma canonica, dovrei fare sparire il termine misto xy. Quindi dovrei effettuare una rotazione del sistema di riferimento. Mi dovrei servire di una matrice P ortogonale formata, per colonne, da una base ortonormale. I versori che compongono le colonne di P sarebbero relativi agli autovalori della matrice A associata alla forma quadratica. Arrivo al punto. P essendo ortogonale ha determinante 1 o -1. Dagli appunti presi a lezione mi risulta che la matrice responsabile della rotazione debba avere determinante positivo, quindi 1. Con -1 non funziona? Ho provato a fare i conti con una matrice P avente determinante =-1 e arrivo alla stessa forma quadratica scritta in forma canonica, cioè $ aX^2+bY^2=0 $, dove $a$ e $b$ sono gli autovalori della matrice A associata alla forma quadratica.
Mi sapete dire dov'è sbagliato il mio ragionamento? Sicuramente sarà una cosa super palese, però sono un po' in crisi

[dissonance]

E' da parecchio che non faccio esercizi sull'argomento ma non mi ricordo che questo fatto del determinante +1 sia rilevante. Tu cerchi una matrice che ti trasformi (isometricamente) la conica in forma più decente; poi che sia una rotazione, una riflessione o una quasirotoglissotransustanzazione che te ne importa? Tuttalpiù hai problemi se devi tenere presente l'orientazione del sistema di riferimento, per esempio se devi fare dei prodotti vettoriali; in quel caso ti interessa sapere se le matrici ortogonali che hai introdotto hanno conservato o hanno invertito l'orientazione (leggi: determinante $=1$, determinante $=-1$).

[LucaB12]

Scusa, come si fa la quasirotoglissotransustanzazione?
A parte gli scherzi, ti ringrazio per la tempestiva risposta
Infatti anche a me non torna sta cosa che la matrice di rotazione debba essere per forza ortogonale speciale (det(P)=1). Però boh, sugli es svolti trovo ben esplicitato che deve essere tale. Forse è solo una convenzione usata dall'insegnante... Chiederò ancora ai compagni di corso se loro hanno colto quest'aspetto.
Grazie mille ancora

[dissonance]

"LucaB":Infatti anche a me non torna sta cosa che la matrice di rotazione debba essere per forza ortogonale speciale (det(P)=1).

No, aspetta non volevo dire questo. Le matrici di rotazione hanno per forza il determinante uguale a $+1$. Ma quando cerchi di classificare una conica, nessuno ti vieta di usare anche matrici non necessariamente di rotazione, ma comunque ortogonali. Esistono delle matrici così, ad esempio $[[-1, 0], [0, 1]]$ (che geometricamente riflette il piano rispetto all'asse $y$, mi pare...). Questo volevo dire, giusto per la precisione.