Matrice rappresentativa di una trasformazione lineare

[Sk_Anonymous]

Ciao a tutti, ho una trasformazione lineare da $RR^3$ a $RR^3$ ed i seguenti vettori $v=((3),(0),(5))$, con $L(v)=((-3),(0),(-6))$, $w=((3),(1),(2))$, con $L(w)=((-3),(0),(-6))$ e $z=((1),(0),(2))$, con $L(z)=((9),(1),(12))$.
Inoltre, i vettori $v$, $w$, $z$ formano una base di $RR^3$ e una base dell'immagine di $L$ è data dai due vettori: $B(ImL)={((1),(0),(2)),((9),(1),(2))}$.
Devo determinare la matrice associata ad L rispetto alla base dei tre vettori.

Il procedimento che ho adottato io è stato quello di calcolare le immagini dei tre vettori v z e w, immagini che già conosco, ed esprimerle rispetto alla base dell'immagine di $L$. Tali coordinate rappresentano la mia matrice. Purtroppo però non ottengo lo stesso risultato del libro: dove sbaglio? Grazie mille

[maurer]

Sbagli, perché non devi calcolare le immagini dei vettori della base di partenza rispetto alla base dell'immagine (anche perché ti verrebbero banalità!), ma devi calcolare le componenti di [tex]L(\mathbf v)[/tex], [tex]L(\mathbf w)[/tex] e [tex]L(\mathbf z)[/tex] rispetto alla stessa base [tex](\mathbf v, \mathbf w, \mathbf z)[/tex]. Altrimenti che senso ha?
Esplicitamente devi risolvere i sistemi [tex]\alpha \mathbf v + \beta \mathbf w + \gamma \mathbf z = L(\mathbf v)[/tex], [tex]\alpha \mathbf v + \beta \mathbf w + \gamma \mathbf z = L(\mathbf w)[/tex] e [tex]\alpha \mathbf v + \beta \mathbf w + \gamma \mathbf z = L(\mathbf z)[/tex].

Le tre soluzioni saranno le colonne della tua matrice. Visto che devi risolvere tre sistemi, potresti prendere in considerazione di risolvere direttamente il sistema ad incognite matriciali
[tex]\left( \begin{matrix} 3 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 5 & 2 & 2 \end{matrix} \right| \left. \begin{matrix} -3 & -3 & 9 \\ 0 & 0 & 1 \\ -6 & -6 & 12 \end{matrix} \right)[/tex]
oppure di calcolare l'inversa della matrice dei coefficienti. Siccome il determinante è 1, quest'ultima opzione è molto conveniente. Usando il metodo della matrice aggiunta abbiamo:
[tex]A^{-1} = \left( \begin{matrix} 2 & -4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -5 & 9 & 3\end{matrix} \right)[/tex]
e a questo punto
[tex]\left( \begin{matrix} \alpha_1 \\ \beta_1 \\ \gamma_1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix}2 & -4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -5 & 9 & 3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -3 \\ 0 \\ -6 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ -3 \end{matrix} \right)[/tex]
e analogamente calcoli gli altri.

Questo come consiglio in generale. Poi nel tuo caso specifico avresti potuto accorgerti subito che [tex]L(\mathbf v) = L(\mathbf w) = -3 \mathbf z[/tex] e pertanto forse l'algoritmo di Gauss era la scelta migliore, visto che dovevi risolvere, di fatto, un solo sistema.

[Sk_Anonymous]

"maurer":Sbagli, perché non devi calcolare le immagini dei vettori della base di partenza rispetto alla base dell'immagine (anche perché ti verrebbero banalità!), ma devi calcolare le componenti di [tex]L(\mathbf v)[/tex], [tex]L(\mathbf w)[/tex] e [tex]L(\mathbf z)[/tex] rispetto alla stessa base [tex](\mathbf v, \mathbf w, \mathbf z)[/tex]. Altrimenti che senso ha?
Esplicitamente devi risolvere i sistemi [tex]\alpha \mathbf v + \beta \mathbf w + \gamma \mathbf z = L(\mathbf v)[/tex], [tex]\alpha \mathbf v + \beta \mathbf w + \gamma \mathbf z = L(\mathbf w)[/tex] e [tex]\alpha \mathbf v + \beta \mathbf w + \gamma \mathbf z = L(\mathbf z)[/tex].

Le tre soluzioni saranno le colonne della tua matrice. Visto che devi risolvere tre sistemi, potresti prendere in considerazione di risolvere direttamente il sistema ad incognite matriciali
[tex]\left( \begin{matrix} 3 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 5 & 2 & 2 \end{matrix} \right| \left. \begin{matrix} -3 & -3 & 9 \\ 0 & 0 & 1 \\ -6 & -6 & 12 \end{matrix} \right)[/tex]
oppure di calcolare l'inversa della matrice dei coefficienti. Siccome il determinante è 1, quest'ultima opzione è molto conveniente. Usando il metodo della matrice aggiunta abbiamo:
[tex]A^{-1} = \left( \begin{matrix} 2 & -4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -5 & 9 & 3\end{matrix} \right)[/tex]
e a questo punto
[tex]\left( \begin{matrix} \alpha_1 \\ \beta_1 \\ \gamma_1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix}2 & -4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -5 & 9 & 3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -3 \\ 0 \\ -6 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ -3 \end{matrix} \right)[/tex]
e analogamente calcoli gli altri.

Questo come consiglio in generale. Poi nel tuo caso specifico avresti potuto accorgerti subito che [tex]L(\mathbf v) = L(\mathbf w) = -3 \mathbf z[/tex] e pertanto forse l'algoritmo di Gauss era la scelta migliore, visto che dovevi risolvere, di fatto, un solo sistema.

Perfetto, grazie mille, tutto torna ora, però volevo sapere un'altra cosa. in alcuni esercizi mi si chiede di calcolare la matrice associata ad un'applicazione fra due basi diverse, nota la matrice espressa rispetto alle baso canoniche. In questo caso procedo come avevo detto sopra, vero?

Ultima cosa: in un altro esercizio mi si chiede il problema opposto alla domanda che ho scritto immediatamente sopra, e cioè data una certa applicazione rappresentata da una matrice rispetto a due basi, devo trovare la matrice che rappresenta $L$ rispetto alla base canonica...come faccio? Ti ringrazio, ciao

[maurer]

Solitamente, quando non si dice nulla, la scelta delle basi rispetto a cui rappresentare la matrice è lasciata allo studente. E siccome lo studente non è masochista, di solito sceglie le basi canoniche. A meno di casi super particolarissimi in cui altre scelte sono più sagge. Ma sono casi talmente particolari che non mi viene in mente nessun esempio concreto; mi sarà capitato una o due volte al massimo di dover fare una roba simile.

Per quanto riguarda l'altra tipologia di esercizio, posta un esempio. Ragionare sui casi concreti è, in quest'ambito, più semplice. Soprattutto per chi deve imparare!

[Sk_Anonymous]

Allora, sempre riferendomi all'esercizio del primo post, ora mi chiede di trovare la matrice che rappresenta $L$ rispetto alla base canonica di $RR^3$. Grazie.

[maurer]

Ecco, allora denotiamo con [tex]\mathbf e_1, \mathbf e_2, \mathbf e_3[/tex] i tre vettori della base canonica. Di fatto, l'esercizio ci sta chiedendo di calcolare [tex]L(\mathbf e_1), L(\mathbf e_2), L(\mathbf e_3)[/tex]. Un primo approccio che potrebbe venire in mente è di calcolare prima le componenti di [tex]\mathbf e_i[/tex] rispetto alla base [tex]\mathbf v, \mathbf w, \mathbf z[/tex], poi di fare il prodotto righe per colonne ed infine tornare ad esprimere tutto in funzione della base canonica.

Questo è un procedimento da NON seguire, perché è decisamente troppo dispendioso. Molto meglio usare questo trucco: si ha [tex]\mathbf v = 3 \mathbf e_1 + 5 \mathbf e_3[/tex], [tex]\mathbf w = 3 \mathbf e_1 + \mathbf e_2 + 2\mathbf e_3[/tex] e [tex]\mathbf z = \mathbf e_1 + 2 \mathbf e_3[/tex]. Quindi, applicando la linearità otteniamo
[tex]\begin{cases} 3 L(\mathbf e_1) + 5 L(\mathbf e_3) = L(\mathbf v) = (-3,0,-6) \\
3 L(\mathbf e_1) + L(\mathbf e_2) + 2 L(\mathbf e_3) = L(\mathbf w) = (-3,0,-6) \\
L(\mathbf e_1) + 2 L(\mathbf e_3) = L(\mathbf z) = (9,1,12) \end{cases}[/tex]
che equivale al sistema matriciale
[tex]\left( \begin{matrix} 3 & 0 & 5 \\ 3 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 2 \end{matrix} \right| \left. \begin{matrix} -3 & 0 & -6 \\ -3 & 0 & -6 \\ 9 & 1 & 12 \end{matrix} \right)[/tex]
Risolvendolo, troverai le componenti di [tex]L(\mathbf e_1), L(\mathbf e_2), L(\mathbf e_3)[/tex] rispetto alla base canonica. Ed in tempo record, provare per credere
Tra parentesi la matrice dei coefficienti è (non a caso) la trasposta di quella iniziale. Avendo già calcolato l'inversa di quella là, risolvere questo sistema diventa davvero rapido!

[Sk_Anonymous]

Maurer, ancora non ho letto la tua risposta, perchè volevo provarci da solo, altrimenti non mi entrerà mai bene in testa.
Allora, detta $B={v,z,w}$, $B'={v,z,w}$, $C={e_1,e_2,e_3}$ e $C'={e_1,e_2,e_3}$, dove $B$ è la base del dominio, $B'$ del codominio, $C$ base canonica del dominio e $C'$ base canonica del codominio.

La formula che ho applicato per calcolare prima la matrice $A_(B,B')$ associata ad $L$ rispetto a $B$ e $B'$, è:
$A_(B,B')=(I_(B',C'))^(-1)*A_(C,C')*I_(B,C)$. Ora, se non ho detto stupidaggini, dovrei ricavare $A_(C,C')$, giusto?

[Sk_Anonymous]

"maurer":Ecco, allora denotiamo con [tex]\mathbf e_1, \mathbf e_2, \mathbf e_3[/tex] i tre vettori della base canonica. Di fatto, l'esercizio ci sta chiedendo di calcolare [tex]L(\mathbf e_1), L(\mathbf e_2), L(\mathbf e_3)[/tex]. Un primo approccio che potrebbe venire in mente è di calcolare prima le componenti di [tex]\mathbf e_i[/tex] rispetto alla base [tex]\mathbf v, \mathbf w, \mathbf z[/tex], poi di fare il prodotto righe per colonne ed infine tornare ad esprimere tutto in funzione della base canonica.

Questo è un procedimento da NON seguire, perché è decisamente troppo dispendioso. Molto meglio usare questo trucco: si ha [tex]\mathbf v = 3 \mathbf e_1 + 5 \mathbf e_3[/tex], [tex]\mathbf w = 3 \mathbf e_1 + \mathbf e_2 + 2\mathbf e_3[/tex] e [tex]\mathbf z = \mathbf e_1 + 2 \mathbf e_3[/tex]. Quindi, applicando la linearità otteniamo
[tex]\begin{cases} 3 L(\mathbf e_1) + 5 L(\mathbf e_3) = L(\mathbf v) = (-3,0,-6) \\
3 L(\mathbf e_1) + L(\mathbf e_2) + 2 L(\mathbf e_3) = L(\mathbf w) = (-3,0,-6) \\
L(\mathbf e_1) + 2 L(\mathbf e_3) = L(\mathbf z) = (9,1,12) \end{cases}[/tex]
che equivale al sistema matriciale
[tex]\left( \begin{matrix} 3 & 0 & 5 \\ 3 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 2 \end{matrix} \right| \left. \begin{matrix} -3 & 0 & -6 \\ -3 & 0 & -6 \\ 9 & 1 & 12 \end{matrix} \right)[/tex]
Risolvendolo, troverai le componenti di [tex]L(\mathbf e_1), L(\mathbf e_2), L(\mathbf e_3)[/tex] rispetto alla base canonica. Ed in tempo record, provare per credere :wink:
Tra parentesi la matrice dei coefficienti è (non a caso) la trasposta di quella iniziale. Avendo già calcolato l'inversa di quella là, risolvere questo sistema diventa davvero rapido!

Allora, maurer, ho calcolato le coordinate dei tre vettori della base canonica rispetto ai vettori u, w e z che mi forniva il testo. In questo modo, sfruttando la linearità di $L$, sono riuscito a calcolare le immagini $L(e1)$, $L(e2)$, $L(e3)$, che rappresentano le colonne della mia matrice. Va bene?

[maurer]

Sì, mi pare corretto, anche se faccio sempre confusione dove va messa la matrice alla meno uno...

Il mio esercitatore, quando aveva fatto questi argomenti aveva appunto illustrato il metodo che proponi tu. Poi, però, appena finito di illustrarlo e prima di svolgere i conti, si è girato con un'espressione cattiva (tipo Majin Buu grasso arrabbiato, se hai seguito Dragon Ball nella tua vita) e ha detto: "ok, questo lo facciamo fare ad un computer. Adesso vi insegno come si fa in realtà!".

Il tuo impegno è lodevole. Hai fatto bene a ragionare prima di leggere il procedimento. Comunque, adesso che hai fornito una risposta corretta, prova a guardarlo. Questi esercizi sono ingannevoli, nel senso che ci sono un sacco di modi diversi per fare la stessa cosa. Una delle abilità che ho dovuto dimostrare all'esame è stato di saper scegliere accuratamente quella più veloce a seconda delle situazioni (altrimenti non avrei mai terminato in tempo quell'incredibilmente lungo compito!).

Risposta al tuo secondo post. Sì va bene. Non so se hai provato anche a mettere in pratica il metodo che proponevi prima; forse una volta puoi provare a farlo. Tanto per renderti conto della differenza dei tempi!

[Sk_Anonymous]

"maurer":
Risposta al tuo secondo post. Sì va bene. Non so se hai provato anche a mettere in pratica il metodo che proponevi prima; forse una volta puoi provare a farlo. Tanto per renderti conto della differenza dei tempi!

Ok, però non so come ricavare la formula inversa di quella formula, visto che sono equazioni che ancora non maneggio benissimo.


Una cosa: quando un esercizio mi chiede di calcolare la matrice rappresentativa di un'applicazione lineare L rispetto alla base canonica, la matrice è sempre formata dalle immagini dei vettori L(e1)...ecc, vero?

In altri esercizi, cosi come anche quello che ho proposto all'inizio di questo topic, per calcolare la matrice rispetto a una base non canonica, calcolavo le immagini di questa base non caninica e ne ricavavo le coordinate rispetto a tale base: queste coordinate rappresentavano le colonne della mia matrice.

Invece, nel caso di matrici rispetto a basi canoniche, basta solo calcolare le immagini della base canonica e basta: tali immagini sono la matrice che mi è stata chiesta. Cioè, non serve, una volta calcolate le $L(e_i)$ esprimere queste ultime rispetto alla base canonica. Per dimostrare che fare questa cosa in caso di matrici rappresentative rispetto a basi canoniche è inutile, ho provato a calcolare comunque le cordinate degli $L(e_i)$ rispetto alla base canonica e tali coordinate erano esattamente le immagini $L(e_i)$. Mi segui? Grazie mille

[maurer]

Allora da [tex]A_{B,B'}=(I_{B',C'})^{-1} A_{C,C'} I_{B,C}[/tex] segue semplicemente [tex]A_{C,C'} = I_{B',C'} A_{B,B'} (I_{B,C})^{-1}[/tex], no?
E' un po' noiosa da applicare perché devi calcolarti le varie matrici di cambiamento di base...

Per il secondo discorso, in effetti, sei un po' confusionario, non sono sicuro di aver capito cosa dici...
Quando calcoli la matrice di un'applicazione lineare rispetto alla base canonica devi calcolare [tex]L(\mathbf e_1)[/tex] ecc.
Poi, dovrai sempre calcolare le componenti di [tex]L(\mathbf e_1)[/tex] ecc. rispetto alla base che metti all'arrivo.
Tuttavia, se all'arrivo ci metti la base canonica, il conto è già fatto! Perché, scusa, le componenti di [tex](x_1, \ldots, x_n)[/tex] rispetto alla base canonica quali sono? Per darmi questa risposta ti metti sul serio a fare i conti?

[Sk_Anonymous]

[quote=maurer]Allora da [tex]A_{B,B'}=(I_{B',C'})^{-1} A_{C,C'} I_{B,C}[/tex] segue semplicemente [tex]A_{C,C'} = I_{B',C'} A_{B,B'} (I_{B,C})^{-1}[/tex], no?[quote]
Potresti dirmi i passaggi che hai fatto? Ti ringrazio.

Cioè, non penso bisogna trattarle come equazioni normali

[Sk_Anonymous]

"maurer":

Per il secondo discorso, in effetti, sei un po' confusionario, non sono sicuro di aver capito cosa dici...
Quando calcoli la matrice di un'applicazione lineare rispetto alla base canonica devi calcolare [tex]L(\mathbf e_1)[/tex] ecc.
Poi, dovrai sempre calcolare le componenti di [tex]L(\mathbf e_1)[/tex] ecc. rispetto alla base che metti all'arrivo.
Tuttavia, se all'arrivo ci metti la base canonica, il conto è già fatto! Perché, scusa, le componenti di [tex](x_1, \ldots, x_n)[/tex] rispetto alla base canonica quali sono? Per darmi questa risposta ti metti sul serio a fare i conti?

Perfetto, tutto chiaro!

[maurer]

Per rispondere alla tua prima domanda: abbi pietà di me e scriviamo [tex]A = B C D[/tex], dove [tex]A = A_{B,B'}[/tex], [tex]B = (I_{B',C'})^{-1}[/tex], [tex]C = A_{C,C'}[/tex] e [tex]D = I_{B,C}[/tex]. Allora [tex]A = B C D \Rightarrow B^{-1} A = (B^{-1} B) CD = CD \Rightarrow B^{-1} A D^{-1} = C(D D^{-1}) = C[/tex].

La vera domanda è per te: perché posso invertire le matrici [tex]B[/tex] e [tex]D[/tex]?

"lisdap":
Cioè, non penso bisogna trattarle come equazioni normali

Beh sono equazioni normali. Scusa, in algebra come fai di solito? Ad esempio a risolvere [tex]3x \equiv 4 \pmod{5}[/tex]? Moltiplichi per l'inverso di [tex]3[/tex] in [tex]\mathbb Z / 5 \mathbb Z[/tex]. Naturalmente, dopo esserti assicurato che l'inverso esista! E qui è la stessa cosa... prima ti assicuri che si possano invertire e poi moltiplichi per l'inversa!

[Sk_Anonymous]

"maurer":Per rispondere alla tua prima domanda: abbi pietà di me e scriviamo [tex]A = B C D[/tex], dove [tex]A = A_{B,B'}[/tex], [tex]B = (I_{B',C'})^{-1}[/tex], [tex]C = A_{C,C'}[/tex] e [tex]D = I_{B,C}[/tex]. Allora [tex]A = B C D \Rightarrow B^{-1} A = (B^{-1} B) CD = CD \Rightarrow B^{-1} A D^{-1} = C(D D^{-1}) = C[/tex].

La vera domanda è per te: perché posso invertire le matrici [tex]B[/tex] e [tex]D[/tex]?

[quote="lisdap"]
Cioè, non penso bisogna trattarle come equazioni normali

Beh sono equazioni normali. Scusa, in algebra come fai di solito? Ad esempio a risolvere [tex]3x \equiv 4 \pmod{5}[/tex]? Moltiplichi per l'inverso di [tex]3[/tex] in [tex]\mathbb Z / 5 \mathbb Z[/tex]. Naturalmente, dopo esserti assicurato che l'inverso esista! E qui è la stessa cosa... prima ti assicuri che si possano invertire e poi moltiplichi per l'inversa![/quote]

Bene, ti ringrazio tantissimo, finalmente mi è entrata in testa questa parte di algebra lineare, ciao:)

[Sk_Anonymous]

"maurer":Per rispondere alla tua prima domanda: abbi pietà di me e scriviamo [tex]A = B C D[/tex], dove [tex]A = A_{B,B'}[/tex], [tex]B = (I_{B',C'})^{-1}[/tex], [tex]C = A_{C,C'}[/tex] e [tex]D = I_{B,C}[/tex]. Allora [tex]A = B C D \Rightarrow B^{-1} A = (B^{-1} B) CD = CD \Rightarrow B^{-1} A D^{-1} = C(D D^{-1}) = C[/tex].

La vera domanda è per te: perché posso invertire le matrici [tex]B[/tex] e [tex]D[/tex]?

[quote="lisdap"]
Cioè, non penso bisogna trattarle come equazioni normali

Beh sono equazioni normali. Scusa, in algebra come fai di solito? Ad esempio a risolvere [tex]3x \equiv 4 \pmod{5}[/tex]? Moltiplichi per l'inverso di [tex]3[/tex] in [tex]\mathbb Z / 5 \mathbb Z[/tex]. Naturalmente, dopo esserti assicurato che l'inverso esista! E qui è la stessa cosa... prima ti assicuri che si possano invertire e poi moltiplichi per l'inversa![/quote]
Ultima cosa, perchè quando moltiplichi per $B^(-1)$ entrambi i membri, a destra puoi tranquillamente affiancare $B^(-1)$ vicino a $B$?. io infatti mi sono fatto questi problemi, perchè il prodotto tra matrici non è commutativo e scrivere $B^(-1)$ tutto a destra è diverso da scriverlo vicino a $B$.

Tu moltiplichi entrambi i membri per $B^(-1)$, però perchè $B^(-1)$ nel membro destro lo puoi scrivere vicino a $B$ e non tutto a destra?

[maurer]

Io moltiplico a destra per [tex]B^{-1}[/tex] e a sinistra per [tex]D^{-1}[/tex].
Chiaramente moltiplicare a destra o a sinistra cambia, e anche di molto, il risultato finale. Però puoi scegliere tu cosa fare, a patto che la stessa operazione sia eseguita su ambo i membri. Per essere chiari: il passaggio [tex]A = BCD \Rightarrow A B^{-1} = B^{-1} BCD[/tex] non è lecito.

[Sk_Anonymous]

"maurer":Io moltiplico a destra per [tex]B^{-1}[/tex] e a sinistra per [tex]D^{-1}[/tex].
Chiaramente moltiplicare a destra o a sinistra cambia, e anche di molto, il risultato finale. Però puoi scegliere tu cosa fare, a patto che la stessa operazione sia eseguita su ambo i membri. Per essere chiari: il passaggio [tex]A = BCD \Rightarrow A B^{-1} = B^{-1} BCD[/tex] non è lecito.

Grande. Tutto ok, ciao ciao

[maurer]

Sì beh, in realtà moltiplico a sinistra per [tex]B^{-1}[/tex] e a destra per [tex]D^{-1}[/tex]. Dopo tutti questi anni faccio ancora fatica a distinguere la destra dalla sinistra... l'importante è che il concetto sia chiaro!
Felice di averti aiutato! ciao ciao