Matrice parametrica, diagonalizzabile

[Smoke666]

Ciao a tutti, sono alle prese con questo esercizio e non riesco a capire perchè non mi torni un risultato corretto. Il motivo per il quale mi rivolgo a voi è che temo di commettere qualche errore nel procedimento risolutivo, quindi chiedo lumi.

Sia $T_{k}: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ l'applicazione lineare che, rispetto alla base standard, ha come matrice associata:

\(\displaystyle A = \begin{bmatrix}
1 &1 & -1 \\
0 & 0 & 1\\
0 & 0 & k
\end{bmatrix} \)

- determinare la dimensione di Ker(T) e di Imm(T);
- per quali valori reali di k è diagonalizzabile e trovare una base di autovettori.

Per la dimensione del nucleo basta risolvere il sistema:
$A x = 0$

\(\displaystyle \begin{bmatrix}
1 &1 & -1 \\
0 & 0 & 1\\
0 & 0 & k
\end{bmatrix} * \begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix} = 0 \) ovvero: \(\displaystyle \begin{pmatrix}
-1\\
1\\
0
\end{pmatrix} \)

La dimensione del nucleo è uguale a 1, di conseguenza l'immagine avrà dimensione 2.

Per la diagonalizzabilità, invece, devo studiare il polinomio caratteristico.

\(\displaystyle \begin{bmatrix}
1-x & 1 & -1 \\
0 & -x & 1\\
0 & 0 & k-x
\end{bmatrix} \)

\(\displaystyle p(x) = -x(1-x)(k-x) \)

Dunque ha come radici: $x_0 = 0$, $x_1 = 1$, $x_2 = k$.
Ciò detto, se $ k \ne 1 $, $ k \ne 0 $ , avrò 3 autovalori distinti, e dunque sarà sicuramente diagonalizzabile. Altrimenti un autovalore avrà molteplicità algebrica 2, sarà dunque diagonalizzabile visto che la molteplicità geometrica è compresa tra 1 e 2. Per calcolare una base di autovettori, mi limito a riportare il caso in cui gli autovalori sono distinti.

Dunque è sufficiente risolvere:

$A - 0I = 0$ ovvero: $<(-1,1,0)>$
$A - I = 0$ ovvero: $<(1,1,0)>$
$A - kI = 0$ ovvero: $<(k^2-1,1,k)>$ (ho moltiplicato il k per semplificare la notazione)

Dunque:
\(\displaystyle L= \begin{bmatrix}
-1 & 1 & k^2-1\\
1 & 1 & 1\\
0 & 0 & k
\end{bmatrix} \)

Detto ciò, $L^{-1} A L$ dovrebbe dare la matrice diagonale:
\(\displaystyle \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & k
\end{bmatrix} \)

Ma così non è.... in cosa sbaglio?? I calcoli li ho controllati calcolatrice alla mano, e mi sono convinto che ci sia un errore algoritmico da parte mia....

Grazie per l'aiuto!
Francesco

[Sk_Anonymous]

Mi pare che ci sia un errore. In realtà l'autospazio relativo all'autovalore $k$ è $<-1,1,k>$ e dunque la matrice $L$ è:
$L=((-1,1,-1),(1,1,1),(0,0,k))$