Matrice inversa

[Mandele]

Ciao a tutti,
devo risolvere un esercizio che mi chiede di mostrare che la matrice $A$ è invertibile et precisare $A^-1$.
Ecco i dettagli dell'esercizio:

"Sia $A \in Mat{n;\mathbb{R}}$ con $n \geq 2 $ (una matrice quadrata) definita come segue:

\[ \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & ... & 1 \\ 1 & \ddots & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & 1\\ 1 & ... & 1 & 0 & \end{array} \right) \]

In pratica con 1 ovunque e 0 nella diagonale.
Come detto sopra devo mostrare che mostrare che la matrice $A$ è invertibile et precisare $A^-1$"

Mi viene consigliato nell'esercizio di porre $B := A + I_n$ e di calcolare $B^2$ ma non ho capito a cosa possa servire.
Ho cercato di provarlo con le componenti ma non è il metodo giusto in quanto la cosa si complica molto ma non vedo come si possa dimostrare trattando in maniera algebrica le matrici.
Qualcuno mi può aiutare?
Grazie per la disponibilità.

[Wilde1]

Se $ B := A + I_n \quad$(matrice di tutti 1)
allora calcolando direttamente (con prodotto riga x colonna) si può vedere facilmente che $ B^2=n(A+I_n) $
Inoltre $ B^2=( A + I_n )^2=A^2+2A+I_n$
Allora abbiamo che
$A^2+2A+I_n=n(A+I_n)$
$A^2+2A-nA=nI_n-I_n$
$A(A+(2-n))=(n-1)I_n$
$A[(A+(2-n))(1/(n-1))]=I_n$
allora A è invertibile e $A^(-1)\quad$ è $ [(A+(2-n))(1/(n-1))]$

[Mandele]

Grazie molte Wilde.
Non avevo pensato di considerare le componenti di $B \cdot B$ ma cercavo di risolvere con le componenti di $A$ senza molto successo.
Ho capito.
Ti auguro una buona giornata!