Matrice dubbio

[lu_ca1]

$T : R4 [t] ->M22 (R) $

$ T(p) = | p(0) p(1) | $
$ |p"(0) p(-1) | $
mi spiegate solo perchè non è iniettiva? grazie! ( le barre indicano la matrice)

[Sk_Anonymous]

Per esempio i polinomi $x^3$ e $x$ sono diversi ma hanno la stessa immagine che è:

[tex]\begin{array}{cc}
0 & 1\\
0 & -1
\end{array}[/tex]

[lu_ca1]

non dovrebbe centrare il ker =0 nella dimostrazione?

[Sk_Anonymous]

Infatti il polinomio $x^3 - x$ è diverso dal polinomio nullo ma ha immagine nulla.

Comunque non è che per forza ci deve entrare il fatto che $ker(f) \ne {0}$ altrimenti la dimostrazione non è valida.
Il teorema dice che un'applicazione lineare è iniettiva se e solo se il suo nucleo è composto solo dal vettore nullo, cioè l'unico vettore che ha immagine nulla è il vettore nullo.

Ovviamente puoi usare anche la definizione di iniettività, e ovviamente il teorema vale per tutte le applicazioni iniettive indipendentemente da come fai a sapere che sono iniettive.

[Sk_Anonymous]

Dati due vettori $a$ e $b$ tali che $a \ne b$, se $p(a)=p(b)=c$ (p non è dunque iniettiva) allora $p(a)-p(b)=c-c=0$, ma per la linearità dell'applicazione $p(a-b)=0$. Quindi $a-b$ appartiene al nucleo pur non essendo un vettore nullo. Come vedi nella dimostrazione (che non è rigorosa e serve per farti un'idea) ho usato la definizione di iniettività.

[lu_ca1]

grazie mille ho capito più o meno. Io mi ero fissato sulla definizione però potevo agire anche diversamente!!