Matrice diagonalizzabile tramite matrice ortogonale

[whatyouhide]

Salve, ho bisogno di una spinta nel seguente esercizio.

"Data la matrice $ A=( ( 1 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ) ) $ dire, giustificando la risposta, se è diagonalizzabile mediante una matrice ortogonale."

L'unico tentativo che riesco a postare è che ho trovato che sicuramente è diagonalizzabile perché ha due autovalori reali e regolari, ho anche trovato gli autovettori relativi e ci ho costruito una matrice usandoli come colonne, ma questa matrice non è ortogonale.

Se può essere utile gli autovalori sono $ lambda_1=0 $ (molteplicità algebrica 2) e $ lambda_2=3 $ e i relativi autovettori sono, rispettivamente, $ X_(1,1)=( ( 1 ),( 0 ),( -1 ) ) $ , $ X_(1,2)=( ( 0 ),( 1 ),( -1 ) ) $ e $ X_2=( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) ) $ .

Sinceramente ho dubbi anche su cosa voglia dire diagonalizzare una matrice mediante un'altra, si intende col prodotto riga per colonna?

Grazie mille.

[Sk_Anonymous]

Premesso che una qualsiasi matrice simmetrica è sempre diagonalizzabile mediante una matrice ortogonale, per determinare la matrice ortogonale bisognerebbe che tu riuscissi a trovare $3$ autovettori che formano una base ortonormale. Siccome l'autovettore corrispondente all'autovalore semplice è ortogonale ai $2$ autovettori corrispondenti all'autovalore doppio, lavorando opportunamente su questi ultimi $2$, rendendoli tra loro ortogonali, non dovresti avere problemi. Ricordati di normalizzare tutti gli autovettori.

[whatyouhide]

Ancora due dubbi: per verificare che due autovettori sono ortogonali, se non specificato, uso il prodotto scalare canonico? E cosa vuol dire normalizzare gli autovettori?

[Sk_Anonymous]

Ho modificato il mio primo post in quanto, se non devi determinare la matrice ortogonale, dalla sola simmetria puoi evincere la tesi. Per quanto riguarda le tue ultime osservazioni, il prodotto scalare è quello canonico e normalizzare un vettore significa renderne il modulo unitario, basta dividere per la radice quadrata del modulo del vettore non normalizzato.

[whatyouhide]

Perfetto, anche se, in effetti... Devo determinarla la matrice ortogonale È un punto successivo dell'esercizio che ho dimenticato di scrivere.
Quindi una matrice simmetrica (che è sempre diagonalizzabile) è sempre diagonalizzabile tramite una matrice ortogonale?

[Sk_Anonymous]

Certo. Quando i $3$ autovalori sono semplici, i $3$ autovettori corrispondenti sono automaticamente ortogonali, devi solo normalizzarli. Quando un autovalore è doppio, devi procedere come si è detto. Quando l'autovalore è triplo, la matrice di partenza è l'autovalore moltiplicato per la matrice identità, quindi è già in forma diagonale.

[whatyouhide]

Cavolo, ottima cosa. Ultima domanda: se dovessi proprio determinare la matrice ortogonale diagonalizzante?

[Sk_Anonymous]

Una volta determinata la base ortonormale formata dai $3$ autovettori, devi semplicemente costruire la matrice $3*3$ avente come colonne i $3$ autovettori medesimi.

[whatyouhide]

Perfetto, sei stato gentilissimo!
Grazie mille.

[whatyouhide]

Ultima domanda: stavo provando a risolvere l'esercizio, e gli autovettori relativi all'autovalore doppio $ lambda_1=0 $ sono generati dal generico vettore $ X=( ( x ),( y ),( -x-y ) ) $ . Quello che devo fare dunque è trovare gli $ x,y $ tali che $ ()=0 $ e cioè gli $ x,y $ che soddisfano $ x^2+y^2+xy=0 $ ? (equazione che in caso non so risolvere a meno che non sostituisco la coppia banale)

[Sk_Anonymous]

Ciò di cui parli nel tuo ultimo intervento non è molto comprensibile. In ogni modo, si tratta di rendere ortogonali, per esempio, i seguenti $2$ autovettori:

$\{(x=1),(y=0):} rarr vec(e_1)=((1),(0),(-1))$

$\{(x=0),(y=1):} rarr vec(e_2)=((0),(1),(-1))$

Dovresti utilizzare il noto procedimento di Gram-Schmidt.