Matrice diagonalizzabile con parametro
Sia A= $ ( ( t , t , 0 ),( 0 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , 3 ) ) $
1)si dica, motivando la risposta, per quali valori di t la matrice è diagonalizzabile.
io ho iniziato mettendo la matrice sottoforma di sistema, ma così ho trovato x=y=z=0 e mi viene t=0. è giusto?
2)posto t=2 si trovi una matrice non singolare N tale che N^-1 A N è diagonale.
per fare questo invece dovrei sostituire la t con il 2, e dopodichè mi trovo i vettori della base della matrice A, e questi vettori costituiranno la matrice N, giusto?
1)si dica, motivando la risposta, per quali valori di t la matrice è diagonalizzabile.
io ho iniziato mettendo la matrice sottoforma di sistema, ma così ho trovato x=y=z=0 e mi viene t=0. è giusto?
2)posto t=2 si trovi una matrice non singolare N tale che N^-1 A N è diagonale.
per fare questo invece dovrei sostituire la t con il 2, e dopodichè mi trovo i vettori della base della matrice A, e questi vettori costituiranno la matrice N, giusto?
Risposte
Per il punto 1) , non so che vuoi dire. Ciò che devi fare è considerare il polinomio caratteristico $P_A(\lambda)=|A-\lambdaI_3|$ , stabilire per quali $k$ è interamente decomponibile in $RR$.
Stabilire se per ogni autovalore, la corrispondente molteplicità algebrica è uguale a quella geometrica.
Per il punto 2) , ci pensiamo dopo.
Stabilire se per ogni autovalore, la corrispondente molteplicità algebrica è uguale a quella geometrica.
Per il punto 2) , ci pensiamo dopo.
"Kashaman":
Per il punto 1) , non so che vuoi dire. Ciò che devi fare è considerare il polinomio caratteristico $P_A(\lambda)=|A-\lambdaI_3|$ , stabilire per quali $k$ è interamente decomponibile in $RR$.
Stabilire se per ogni autovalore, la corrispondente molteplicità algebrica è uguale a quella geometrica.
Per il punto 2) , ci pensiamo dopo.
come autovalori mi vengono: k= 2+rad11/2 , k= 2-rad11/2, k=t. sono giusti?
"zompetta":
come autovalori mi vengono: k= 2+rad11/2 , k= 2-rad11/2, k=t. sono giusti?
Temo di no. Prendi la matrice$$
A-\lambda I_{3} = \begin{pmatrix}
t-\lambda&t&0\\0&-1-\lambda&0\\0&0&3-\lambda
\end{pmatrix}
$$E' una matrice triangolare, quindi il suo determinante sarà dato semplicemente da$$
(t-\lambda)(-1-\lambda)(3-\lambda)
$$che si annulla per$$
\lambda = t \vee \lambda = -1 \vee \lambda = 3
$$
quindi la matrice per essere diagonalizzabile, deve avere t diverso da -1,3 e t???
No, non c'entra. Gli autovalori sono $t, -1, 3$. A questo punto devi valutare, come al solito, la molteplicità algebrica e quella geometrica di ogni autovalore.
mi vengono molteplicità sia algebrica che geometrica 1,1,1 per tutti e tre gli autovalori!
Ma se per esempio fosse $t=3$ avresti l'autovalore $3$ con molteplicità algebrica pari a $2$...
giusto...in questi casi come si fa a calcolare le molteplicità??
Sostituisci $t=3$ e calcoli la molteplicità geometrica come al solito. 
e poi faccio la stessa cosa anche con -1 giusto?? ma se calcolo t con 2 valori diversi poi avrò molteplicità algebriche e geometriche che si presentano in 2 modi diversi a seconda di t.. :/
Beh certo... $t$ è un parametro quindi quello che viene dipende dal suo valore.
Il ragionamento dovrebbe essere questo:
* trovo tre autovalori $t, -1, 3$ e studio le loro molteplicità
* se $t \ne -1, 3$ i tre autovalori sono semplici $\Rightarrow$ sono regolari $\Rightarrow$ la matrice è diagonalizzabile
* se $t = -1$ l'autovalore $-1$ ha molteplicità algebrica pari a $2 \Rightarrow$ calcolo la sua molt. geometrica e vedo se l'autovalore è regolare
* ripeto per $t=3$
Il ragionamento dovrebbe essere questo:
* trovo tre autovalori $t, -1, 3$ e studio le loro molteplicità
* se $t \ne -1, 3$ i tre autovalori sono semplici $\Rightarrow$ sono regolari $\Rightarrow$ la matrice è diagonalizzabile
* se $t = -1$ l'autovalore $-1$ ha molteplicità algebrica pari a $2 \Rightarrow$ calcolo la sua molt. geometrica e vedo se l'autovalore è regolare
* ripeto per $t=3$
quindi quando calcolo la molteplicità geometrica dell'autovalore -1, con t=-1 mi verrebbe questo?? : $ ( ( -1-(-1) , -1 , 0 ),( 0 , -1-(-1) , 0 ),( 0 , 0 , 3-(-1) ) ) $
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