Matrice diagonalizzabile al variare del parametro h
Salve sto cercando di riolvere questo esercizio ma fin ora non sono riuscito ad andare avanti, mi blocco praticamente da subito.
Si consideri la matrice $ A= ((1,0,h-1),(0,1,1),(h-1,1,2)) $
si stabilisca al variare del parametro reale h, se la matrice A è diagonalizzabile.
Mi illustrate i passaggi da seguire? Grazie mille
Si consideri la matrice $ A= ((1,0,h-1),(0,1,1),(h-1,1,2)) $
si stabilisca al variare del parametro reale h, se la matrice A è diagonalizzabile.
Mi illustrate i passaggi da seguire? Grazie mille
Risposte
1. calcoli il determinante della matrice dal quale ottieni i valori del parametro
2.Sostituisci nella matrice i valori trovati
3. Calcoli gli autovalori rispettiva matrice e se esistono n autovalori distinti allora è diagonalizzabile (n numero colonne)
nel tuo caso:
$det A= 2-(h-1)^2-1=2-h^2+2h-1-1=-h(h-2)=0$ e ottieni che $h_1=0,h_2=2$
ora sostituisci nella matrice prima per $2$
$A'=((1,0,1),(0,1,1),(1,1,2))$
e poi per $0$
$A''=((1,0,-1),(0,1,1),(-1,1,2))$
e poi procedi per determinare gli autovalori
$|A'-\lambdaU|=((1-\lambda,0,1),(0,1-\lambda,1),(1,1,2-\lambda))=(1-\lambda)^2(2-\lambda)-(1-\lambda)-(1-\lambda)=(1+\lambda^2-2\lambda)(2-\lambda)-2-2\lambda=$
$=2-2\lambda^2-4\lambda-\lambda-\lambda^3=+2\lambda^2-2+2\lambda=-1(-3\lambda^3+4\lambda^2-3\lambda+2)=\lambda(\lambda^2-4\lambda+3)-2=0$ risolvi questa esquazione di terzo grado ed hai $\lambda_1=2,\lambda_2=1,\lambda_3=3$ avendo 3 autovalori distinti la matrice è diagonalizzabile
stesso procedimento per 0 io me lo risparmio però...
inoltre se t blocchi sin da subito significa che non hai studiato la teoria... Bravo!
2.Sostituisci nella matrice i valori trovati
3. Calcoli gli autovalori rispettiva matrice e se esistono n autovalori distinti allora è diagonalizzabile (n numero colonne)
nel tuo caso:
$det A= 2-(h-1)^2-1=2-h^2+2h-1-1=-h(h-2)=0$ e ottieni che $h_1=0,h_2=2$
ora sostituisci nella matrice prima per $2$
$A'=((1,0,1),(0,1,1),(1,1,2))$
e poi per $0$
$A''=((1,0,-1),(0,1,1),(-1,1,2))$
e poi procedi per determinare gli autovalori
$|A'-\lambdaU|=((1-\lambda,0,1),(0,1-\lambda,1),(1,1,2-\lambda))=(1-\lambda)^2(2-\lambda)-(1-\lambda)-(1-\lambda)=(1+\lambda^2-2\lambda)(2-\lambda)-2-2\lambda=$
$=2-2\lambda^2-4\lambda-\lambda-\lambda^3=+2\lambda^2-2+2\lambda=-1(-3\lambda^3+4\lambda^2-3\lambda+2)=\lambda(\lambda^2-4\lambda+3)-2=0$ risolvi questa esquazione di terzo grado ed hai $\lambda_1=2,\lambda_2=1,\lambda_3=3$ avendo 3 autovalori distinti la matrice è diagonalizzabile
stesso procedimento per 0 io me lo risparmio però...
inoltre se t blocchi sin da subito significa che non hai studiato la teoria... Bravo!
la teoria l'ho studiata, infatti il secondo ed il terzo passaggio li capisco e li sò fare, forse mi manca qulche nozione perchè continuo a non capire come mai hai calcolato il determinante di A e lo hai posto uguale a 0?
a quanto corrisponde il determinatne di questa matrice?
$A=((1,2,3),(0,1,1,),(1,2,1))$
unpo di teoria... queste cose le devi sapere perforza
http://it.wikipedia.org/wiki/Regola_di_Sarrus
http://it.wikipedia.org/wiki/Determinante
$A=((1,2,3),(0,1,1,),(1,2,1))$
unpo di teoria... queste cose le devi sapere perforza
http://it.wikipedia.org/wiki/Regola_di_Sarrus
http://it.wikipedia.org/wiki/Determinante
Scusami perchè hai calcolato i valori per i quali la matrice è genere?
è genere che vuoi dire? generata?
perchè mi son fatto prendere la mano... ci stavo pensando dopo! beh alla fine cmq è come controprova che la matrice è diagonalizzabile
perchè mi son fatto prendere la mano... ci stavo pensando dopo! beh alla fine cmq è come controprova che la matrice è diagonalizzabile
si, so come si calcola il determinante di una matrice, vorrei capire perchè per trovare il valore del parametro h hai posto $ detA=0 $
"ansioso":Ma tu sei sicuro di avere le idee chiare, ansioso? A me non sembra. Inoltre penso che mistake volesse dire: "degenere" nel senso di "singolare", e mi accodo a lui - a che pro fare questi calcoli al punto 1? Sono completamente inutili per il problema in questione.
1. calcoli il determinante della matrice dal quale ottieni i valori del parametro
2.Sostituisci nella matrice i valori trovati
3. Calcoli gli autovalori rispettiva matrice e se esistono n autovalori distinti allora è diagonalizzabile (n numero colonne)
[...]
inoltre se t blocchi sin da subito significa che non hai studiato la teoria... Bravo!
Il punto 2 poi è proprio un errore. Tu sostanzialmente escludi dall'analisi tutti i valori di $h$ per cui la matrice è non singolare, come se le matrici non singolari fossero automaticamente non diagonalizzabili. Questo è falso, per un controesempio particolarmente demenziale pensa a $[[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]$
E veniamo al punto 3. Altro errore. O meglio, tecnicamente non affermi una cosa falsa: una matrice quadrata con tanti autovalori distinti quante le colonne è certamente diagonalizzabile. Ma ci sono moltissime matrici diagonalizzabili che non verificano questo criterio: anche qui vale il controesempio demenziale di prima.
Per risolvere un esercizio come questo ma senza il parametro h mi calcolo il $ det(A-\lambdaI)=o $ e trovo gli autovalori, verifico che siano tutti reali, quindi calcolo la molteplicità algeblica e la molteplicità geometrica, se ottengo che per ogni autovalore $\lambda$ la molteplicità algeblica è uguale a quella geometrica allora sono sicuro che A è diagonalizzabile. Il problema è il parametro, non riesco a capire come agire. Quello di ansioso sembrava un metodo valido, ossia quello di porre il detA=0 per ottenere i valori del parametro, però non riesco a capire perchè si dovrebbe agire così. Voi che ne dite?
beh il problema diceva per quali valori di h...
se vien richiesto per quali valori del parametro tale matrice è diagonale... io così trovo i valori di h
infatti se fosse $h=1$ avrei come autovalori $\lambda_(1,2)=2$ e $\lambda_3=1$ dove la molteplicità geometrica di $\lambda_(1,2)$ è due... quindi non essendoci autovalori distindi, la matrice non è diagonalizzabile...
se vien richiesto per quali valori del parametro tale matrice è diagonale... io così trovo i valori di h
infatti se fosse $h=1$ avrei come autovalori $\lambda_(1,2)=2$ e $\lambda_3=1$ dove la molteplicità geometrica di $\lambda_(1,2)$ è due... quindi non essendoci autovalori distindi, la matrice non è diagonalizzabile...
Scusatemi, volevo ovviamente dire degenere... mi è saltata una sillaba 
La prima cosa da fare è sempre quella di determinare il polinomio caratteristico e determinarne le radici. Che ci sia il parametro o no!
Quando c'è un parametro bisogna cercare di capire quali valori di questo parametro possono "dar fastidio", ad esempio annullando un termine e verificando di volta in volta cosa accade.
La prima cosa da fare è sempre quella di determinare il polinomio caratteristico e determinarne le radici. Che ci sia il parametro o no!
Quando c'è un parametro bisogna cercare di capire quali valori di questo parametro possono "dar fastidio", ad esempio annullando un termine e verificando di volta in volta cosa accade.
Infatti io ho provato subito a risolverlo in questo modo solo che non riesco ad andare avanti.
$ det(A-\lambdaI)=((1-\lambda,0,h-1),(0,1-\lambda,1),(h-1,1,2-\lambda))=(1-\lambda)|(1-\lambda,h-1),(h-1,2-\lambda)|=(1-\lambda)[(1-\lambda)(2-\lambda)-(h-1)^2] $ e ora?
$ det(A-\lambdaI)=((1-\lambda,0,h-1),(0,1-\lambda,1),(h-1,1,2-\lambda))=(1-\lambda)|(1-\lambda,h-1),(h-1,2-\lambda)|=(1-\lambda)[(1-\lambda)(2-\lambda)-(h-1)^2] $ e ora?
e ora il primo fattore ti assicura che hai sempre un autovalore [tex]\lambda_1 = 1[/tex], per il secondo fattore (quello tra quadre) devi vedere come variano le sue soluzioni al variare di [tex]h[/tex].
(suggerimento: il fattore tra quadre è di secondo grado in [tex]\lambda[/tex]... come si discutono gli zeri di un polinomio di secondo grado?)
(suggerimento: se vuoi semplificarti un po' i conti puoi porre [tex]k = (h-1)^2[/tex], discuterla rispetto a [tex]k[/tex] e poi riportare in [tex]h[/tex])
(suggerimento: il fattore tra quadre è di secondo grado in [tex]\lambda[/tex]... come si discutono gli zeri di un polinomio di secondo grado?)
(suggerimento: se vuoi semplificarti un po' i conti puoi porre [tex]k = (h-1)^2[/tex], discuterla rispetto a [tex]k[/tex] e poi riportare in [tex]h[/tex])
Dirò una cosa, forse è ancora troppo presto ma secondo me hai sbagliato il determinante.
Cosa vuoi dire non capisco?
"kickbox":
Cosa vuoi dire non capisco?
a me o a kickbox?
A me il determinante viene $(1-lambda)[(1-lambda)(2-lambda)-(h-1)^2-1]$. Te hai applicato Laplace ma ti sei fermato al primo termine.
Per quanto diceva kickbox: $lambda=1$ è autovalore perchè ti annulla il polinomio per qualsiasi $h$;
gli altri due autovalori (magari uno con molteplicità 2) si addensano nella parte tra quadre.
Quello che ti dico è:
Se una matrice quadrata di ordine $n$ ha $n$ autovalori distinti allora è diagonalizzabile.
Ah si ho sbagliato anche ad applicare Laplace, quando dici n autovalori distinti vuoi dire diversi, cioè se un autovalore ha molteplicità 2 si deve contare 1 o 2 volte?
Diversi.
Ricorda che una matrice è diagonalizzabile se e solo se la molteplicità algebrica ($ma$) di ogni atuovalore è uguale alla molteplicità geometrica ($mg$) dell'autovalore stesso.
Si ha che (preso un generico autovalore $lambda_i$) $ma(lambda_i)>=mg(lambda_i)>=1$.
Ora se $ma(lambda_i)=1$ $forall lambda_i$ (ha dunque $n$ autovalori tutti diversi) allora
$forall lambda_i$ $ma(lambda_i)=mg(lambda_i)=1$.
Ricorda che una matrice è diagonalizzabile se e solo se la molteplicità algebrica ($ma$) di ogni atuovalore è uguale alla molteplicità geometrica ($mg$) dell'autovalore stesso.
Si ha che (preso un generico autovalore $lambda_i$) $ma(lambda_i)>=mg(lambda_i)>=1$.
Ora se $ma(lambda_i)=1$ $forall lambda_i$ (ha dunque $n$ autovalori tutti diversi) allora
$forall lambda_i$ $ma(lambda_i)=mg(lambda_i)=1$.
Quindi ponendo $ (1-\lambda)[(1-\lambda)(2-\lambda)-(h-1)^2-1]=0 $ ottengo $ \lambda_1=1 $ poi come suggerito da Whisky84 pongo $ k=(h-1)^2 $ quindi per trovare gli altri autovalori risolvo l'equazione $ (1-\lambda)(2-\lambda)-k-1=0 $ da cui $ 1-\lambda=k+1 $ e $ 2-\lambda=k+1 $ quindi ho $ \lambda_2=-k=-(h-1)^2 $ e $ \lambda_3=-k+1=-(h-1)^2+1 $ ed ora come porto avanti la discussione?
Wait wait.
Noi abbiamo questa equazione: $(1-lambda)(2-lambda)-k-1=lambda^2-3lambda-k+1=0$. Non ho assolutamente capito come hai risolto l'equazione.
Per queste c'è la formula risolutiva
http://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_di_secondo_grado
Dagli una bella occhiata.
Ora per il nostro problema conviene (secondo me (scoprirai che ho cambiato idea)) ragionare in questa maniera:
$lambda_1=1$ è autovalore $forall h$.
Ora gli altri due autovalori($lambda_2$ e $lambda_3$) vengono da quell'equazione di secondo grado.
Le due soluzioni sono $lambda_(2,3)=(3+-sqrt(5+4k))/2$.
Ora essendo $k=(h-1)^2>=0$ la l'equazione ha due soluzioni reali e distinte.
Ora il problema da porsi è se sono uguali a $lambda_1=1$; quando saranno diverse hai $3$ autovalori diversi e quindi è diagonalizzabile.
Si verifica facilmente che le due soluzioni sono smpre diverse da $1$, il che ti rende la matrice sempre diagonalizzabile.
Pensando al risultato che abbiamo ottenuto mi viene il dubbio che ho sbagliato qualche conto.
Cavolo ho guardato ora la matrice per comprendere la mia soluzione; e mi accorgo ora (stupido io) che la matrice è simmetrica e quindi diagonalizzabile.
In poche parole ti potevi risparmiare tutto questo conto (che a questo punto allora sarà giusto) perchè
se una matrice è simmetrica allora è diagonalizzabile (no il viceversa).
Noi abbiamo questa equazione: $(1-lambda)(2-lambda)-k-1=lambda^2-3lambda-k+1=0$. Non ho assolutamente capito come hai risolto l'equazione.
Per queste c'è la formula risolutiva
http://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_di_secondo_grado
Dagli una bella occhiata.
Ora per il nostro problema conviene (secondo me (scoprirai che ho cambiato idea)) ragionare in questa maniera:
$lambda_1=1$ è autovalore $forall h$.
Ora gli altri due autovalori($lambda_2$ e $lambda_3$) vengono da quell'equazione di secondo grado.
Le due soluzioni sono $lambda_(2,3)=(3+-sqrt(5+4k))/2$.
Ora essendo $k=(h-1)^2>=0$ la l'equazione ha due soluzioni reali e distinte.
Ora il problema da porsi è se sono uguali a $lambda_1=1$; quando saranno diverse hai $3$ autovalori diversi e quindi è diagonalizzabile.
Si verifica facilmente che le due soluzioni sono smpre diverse da $1$, il che ti rende la matrice sempre diagonalizzabile.
Pensando al risultato che abbiamo ottenuto mi viene il dubbio che ho sbagliato qualche conto.
Cavolo ho guardato ora la matrice per comprendere la mia soluzione; e mi accorgo ora (stupido io) che la matrice è simmetrica e quindi diagonalizzabile.
In poche parole ti potevi risparmiare tutto questo conto (che a questo punto allora sarà giusto) perchè
se una matrice è simmetrica allora è diagonalizzabile (no il viceversa).
Giusto!! Coincide con la trasposta!!! Quindi ne concludiamo che la matrice è diagonalizzabile per qualsiasi valore di h. Mi confermi che comunque tutti i passaggi che hai fatto sono validi per la risoluzione del quesito?
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