Matrice diagonale rispetto a base ortogonale di $R^3$
Buongiorno, in un esercizio ho incontrato la seguente richiesta:
"Determinare se esiste una base ortogonale di ^3$ rispetto alla quale A é diagonale."
(La matrice A é una 3x3 con un parametro reale k).
Mi sapreste indicare come procedere, perché al momento l'unica idea che mi é venuta é di determinare per quali k A é simmetrica, ma senza un reale procedimento logico...
"Determinare se esiste una base ortogonale di ^3$ rispetto alla quale A é diagonale."
(La matrice A é una 3x3 con un parametro reale k).
Mi sapreste indicare come procedere, perché al momento l'unica idea che mi é venuta é di determinare per quali k A é simmetrica, ma senza un reale procedimento logico...
Risposte
Una matrice è diagonalizzabile se... ? 
Quando ha tutti gli autovalori regolari
Il che implica, anche, che il numero degli autovalori, contati con la loro molteplicità, sia uguale alla dimensione dello spazio vettoriale $V$:
Comunque sarebbe opportuno che tu scriva la matrice $A$ in questione.
$L_A : qquad RR^3->RR^3$
$L_A(v) |-> Av, qquad AA v in RR^3, A in M_3(RR)$
$L_A(v) |-> Av, qquad AA v in RR^3, A in M_3(RR)$
Comunque sarebbe opportuno che tu scriva la matrice $A$ in questione.
Questa è la matrice in questione:
\(\begin{pmatrix}1&-2&k+4\\ \:\:0&0&2\\ \:\:-1&2&k+2\end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix}1&-2&k+4\\ \:\:0&0&2\\ \:\:-1&2&k+2\end{pmatrix}\)
Mentre il polinomio caratteristico è... ?
\(-x\left(x^2+x\left(3+k\right)+2\left(1+k\right)\right)\)
Quindi gli autovalori sono...?
\(x_1=0\ x_2=-2\ x_3=-1-k\)
Un commento sugli autovalori trovati? Ad esempio: quando si può affermare a priori[nota]Senza dover verificare l'uguaglianza delle molteplicità[/nota] che un endomorfismo sia diagonalizzabile?
Quando tutti gli autovalori con molteplicità algebrica pari a 1. Quindi se $-1-k$ é diverso da $0$ e da $-2$. Ma tutte queste considerazioni mi portano effettivamente a rispondere alla richiesta del problema?
Se $-1-k$ è diverso da $0$ e da $-2$ hai che la matrice è diagonalizzabile. Quindi per capire se è ortogonalmente diagonalizzabile non ti resta che da verificare se gli autospazi sono o non sono ortogonali. Non so se la terminologia è universale per te quindi lo specifico: l'autospazio di un autovalore $lambda$ è l'insieme $A(lambda)$ dei vettori $v$ tali che $Mv=lambda v$ (dove $M$ è la matrice).
Ah, attenzione perché gli autovalori sono $0$, $2$ e $k+1$ (vedi qui).
Quindi continuando: gli autospazi sono...?
Ah, attenzione perché gli autovalori sono $0$, $2$ e $k+1$ (vedi qui).
Quindi continuando: gli autospazi sono...?
Non devo verificare anche che: se $k+1$ è uguale a $0$ o a $-2$ l'autospazio generato da quest'ultimi sia bidimensionale? In tal caso la matrice non sarebbe comunque diagonalizzabile?
"gianni97":
Non devo verificare anche che: se $k+1$ è uguale a $0$ o a $-2$ l'autospazio generato da quest'ultimi sia bidimensionale? In tal caso la matrice non sarebbe comunque diagonalizzabile?
Chi va piano va sano e va lontano!
Hai trovato una base ortogonale di autovettori per $k+1ne-2 qquad^^qquad k+1ne0$ ?
Ma quindi la richiesta:
"Determinare se esiste una base ortogonale di ^3$ rispetto alla quale A é diagonale."
Equivale a "determinare se la matrice é diagonalizzabile e se autovettori relativi a autovalori diversi sono vettori tra loro ortogonali"?
"Determinare se esiste una base ortogonale di ^3$ rispetto alla quale A é diagonale."
Equivale a "determinare se la matrice é diagonalizzabile e se autovettori relativi a autovalori diversi sono vettori tra loro ortogonali"?
Si può dimostrare che le seguenti condizioni sono logicamente equivalenti:
$1)$ $A$ è diagonalizzabile (ovvero l'operatore $L_A : V-> V$ è "semplice")
$2)$ Esiste $P in GL_n(RR)$ tale che $P^(-1)AP$ è diagonale.
$3)$ Esiste una base di $V$ costituita da autovettori.
Inoltre, se è richiesto che la base sia ortogonale[nota]Con "base ortogonale" intendo dire che i vettori che la compongono sono mutuamente ortogonali.[/nota], si ricorre all'ortogonalizzazione di Gram-Schmidt[nota]Ovviamente, essendo un algoritmo computazionale, conviene sempre verificare che la base non sia già ortogonale.[/nota].
$1)$ $A$ è diagonalizzabile (ovvero l'operatore $L_A : V-> V$ è "semplice")
$2)$ Esiste $P in GL_n(RR)$ tale che $P^(-1)AP$ è diagonale.
$3)$ Esiste una base di $V$ costituita da autovettori.
Inoltre, se è richiesto che la base sia ortogonale[nota]Con "base ortogonale" intendo dire che i vettori che la compongono sono mutuamente ortogonali.[/nota], si ricorre all'ortogonalizzazione di Gram-Schmidt[nota]Ovviamente, essendo un algoritmo computazionale, conviene sempre verificare che la base non sia già ortogonale.[/nota].
gianni97, l'idea è molto semplice: siccome puoi sempre trovare basi ortogonali degli autospazi usando Gram-Schmidt come dice Magma, il fatto che una matrice $M$ ammette una base ortogonale di autovettori risulta equivalente al fatto seguente:
$M$ è diagonalizzabile e i suoi autospazi sono a due a due ortogonali.
In altre parole quello che ti stanno chiedendo è esattamente
per quali valori di $k$ la matrice è diagonalizzabile e i suoi autospazi sono a due a due ortogonali?
Ricorda che due sottospazi $U$ e $W$ di uno spazio $V$ si dicono ortogonali se ogni vettore di $U$ è ortogonale ad ogni vettore di $W$ (cioè per ogni $u in U$ e per ogni $w in W$, il prodotto scalare tra $u$ e $w$ è zero).
PS. Occhio, ti ripeto che gli autovalori sono $0$, $2$ e $k+1$.
$M$ è diagonalizzabile e i suoi autospazi sono a due a due ortogonali.
In altre parole quello che ti stanno chiedendo è esattamente
per quali valori di $k$ la matrice è diagonalizzabile e i suoi autospazi sono a due a due ortogonali?
Ricorda che due sottospazi $U$ e $W$ di uno spazio $V$ si dicono ortogonali se ogni vettore di $U$ è ortogonale ad ogni vettore di $W$ (cioè per ogni $u in U$ e per ogni $w in W$, il prodotto scalare tra $u$ e $w$ è zero).
PS. Occhio, ti ripeto che gli autovalori sono $0$, $2$ e $k+1$.
Ok, capito.
In un altro esercizio mi si chiede per quali valori di $k$ la matrice é "ortogonalmente diagonalizzabile": é la stessa cosa?
E poi un ultimo dubbio: se nella richiesta ci fosse stato "ortonormale" invece di "ortogonale" sarebbe bastato verificare per quali $k$ la matrice é simmetrica?
In un altro esercizio mi si chiede per quali valori di $k$ la matrice é "ortogonalmente diagonalizzabile": é la stessa cosa?
E poi un ultimo dubbio: se nella richiesta ci fosse stato "ortonormale" invece di "ortogonale" sarebbe bastato verificare per quali $k$ la matrice é simmetrica?
"gianni97":Sì è la stessa cosa.
In un altro esercizio mi si chiede per quali valori di $k$ la matrice é "ortogonalmente diagonalizzabile": é la stessa cosa?
E poi un ultimo dubbio: se nella richiesta ci fosse stato "ortonormale" invece di "ortogonale" sarebbe bastato verificare per quali $k$ la matrice é simmetrica?No no no, attenzione.
La simmetria è condizione solo sufficiente per l'esistenza di una base ortogonale. [In realtà è anche necessaria, vedi il prossimo intervento]
Per ottenere una base ortonormale basta normalizzare i vettori di una base ortogonale.
Quindi se ci fosse stato "ortonormale" invece di "ortogonale" sarebbe stato tutto uguale. L'esistenza di una base ortonormale è equivalente all'esistenza di una base ortogonale.
Per curiosità quali valori di $k$ ti vengono?
Grazie mille Martino. Concludo adesso l'esercizio e ti mando le soluzioni.
Nessun k soddisfa la richiesta. Ma non c'è un procedimento meno gravoso in termini di calcoli?
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