Matrice diagonale rispetto a base ortogonale di $R^3$

[gianni971]

Buongiorno, in un esercizio ho incontrato la seguente richiesta:

"Determinare se esiste una base ortogonale di ^3$ rispetto alla quale A é diagonale."

(La matrice A é una 3x3 con un parametro reale k).

Mi sapreste indicare come procedere, perché al momento l'unica idea che mi é venuta é di determinare per quali k A é simmetrica, ma senza un reale procedimento logico...

[Studente Anonimo]

Sì anche a me viene così.

Mi sono accorto adesso che se $M$ è ortogonalmente diagonalizzabile allora è simmetrica, infatti esiste $P$ con $PMP^t=D$ diagonale (e $P^t=P^{-1}$ dove $P^t$ indica la trasposta di $P$) quindi $M^t=(P^tDP)^t=P^tD^tP=P^tDP=M$. In altre parole "ortogonalmente diagonalizzabile" è equivalente a "simmetrica" (teorema spettrale). Quindi in realtà ti abbiamo fatto fare un sacco di conti per niente, come dicevi bastava controllare per quali $k$ la matrice è simmetrica.

[gianni971]

Ok. Grazie mille di nuovo, almeno adesso me lo ricorderó sicuramente nel caso mi capiti in un esame :')

[Magma1]

Sì, ma attenzione perché ciò vale solo se la matrice rappresentativa dell'operatore $f$ su $V$ sia espressa rispetto a una base ortonormale di $V$: cioè il fatto che una matrice non sia simmetrica non implica, necessariamente, che non sia diagonalizzabile; una matrice non simmetrica può essere simile a una matrice simmetrica e, di conseguenza, simile a una matrice diagonale, quindi diagonalizzabile.

[Studente Anonimo]

Sì Magma ma l'esercizio chiedeva per quali $k$ la matrice è ortogonalmente diagonalizzabile.

[dissonance]

"Magma":Sì, ma attenzione perché ciò vale solo se la matrice rappresentativa dell'operatore $f$ su $V$ sia espressa rispetto a una base ortonormale di $V$: cioè il fatto che una matrice non sia simmetrica non implica, necessariamente, che non sia diagonalizzabile; una matrice non simmetrica può essere simile a una matrice simmetrica e, di conseguenza, simile a una matrice diagonale, quindi diagonalizzabile.

Secondo me non è questo il punto, Magma. La vera cosa a cui fare attenzione è il campo degli scalari: reali o complessi? Perché se si ammettono scalari complessi, le matrici non simmetriche possono essere ortogonalmente diagonalizzabili: per esempio
\[
\begin{bmatrix} -i/2 & 1/2 \\ i/2 & 1/2\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i & -i \\ 1 & 1\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} i &0 \\ 0 & -i\end{bmatrix},\]
quindi \(\begin{bmatrix} 0 &-1\\ 1& 0\end{bmatrix}\) è diagonalizzabile e una base ortogonale di autovettori è \( (i, 1), (-i, 1)\).

Nel caso di questo esercizio, però, gli autovalori sono reali e la matrice è reale. I numeri complessi non possono quindi entrare da nessuna parte e scatta il criterio che dice Martino.

Quindi in realtà ti abbiamo fatto fare un sacco di conti per niente

Se tutti riconoscessimo così i nostri errori sarebbe un mondo migliore:

[Magma1]

"Martino":Sì Magma ma l'esercizio chiedeva per quali $k$ la matrice è ortogonalmente diagonalizzabile.

D'accordo!

"dissonance":Secondo me non è questo il punto, Magma. La vera cosa a cui fare attenzione è il campo degli scalari: reali o complessi? Perché se si ammettono scalari complessi, le matrici non simmetriche possono essere ortogonalmente diagonalizzabili

Opss... ho dato per scontato che si operasse nel campo reale; e nel campo dei complessi non mi intrufolo in quanto non ho molta pratica . Ti ringrazio per l'osservazione

"dissonance":

Quindi in realtà ti abbiamo fatto fare un sacco di conti per niente

Se tutti riconoscessimo così i nostri errori sarebbe un mondo migliore:

Quoto!

[Studente Anonimo]

"dissonance":Se tutti riconoscessimo così i nostri errori sarebbe un mondo migliore:

Sì ma solo se si conversa con gente intelligente come voi altrimenti non è così scontato.