Matrice diagonale

[valy1]

come posso dimostrare che il rpodotto di matrici diagonali è ancora una matrice diagonale?

[Dorian1]

Siano $A$,$B$ matrici diagonali di ordine $n$. Denotiamo l'entrata "riga $i$-colonna $j$" della matrice $A$ col simbolo $a_(i,j)$. Lo stesso significato avrà $b_(i,j)$ per la matrice $B$.
Quindi:

$a_(i,j)=0$ se $i!=j$
$b_(i,j)=0$ se $i!=j$

Sia $C=AB$. Chi è $c_(i,j)$?

$c_(i,j)=sum_(k=1)^na_(i,k)b_(k,j)$
per come è definito il prodotto tra matrici (è detto infatti prodotto riga per colonna...)

supponiamo $i!=j$: tutti gli elementi della sommatoria sono nulli, infatti se $k=i$, $b_(k,j)=0$
se $k=j$ si annulla $a_(i,k)$ (vuol dire che fuori dalla diagonale di $C$ ci stanno solo zeri...)
Supponiamo ora $i=j$: vi sarà un solo elemento (eventualmente, non necessariamente) non nullo, $a_(i,i)b_(i,i)$, che prenderà il nome $c_(i,i)$ (sto dicendo che sulla $i$-esima entrata diagonale di $C$ ci sta l'elemento $a_(i,i)b_(i,i)$).

[valy1]

ma scusa ne l caso in cui i è diverso da j nn può succedere che k sia diverso sia da i che da j?

[valy1]

scusa ho fatto una domanda stupida..

[Dorian1]

Comunque il consiglio è quello di provare a "fare da soli", come ho detto più volte. Solo così ci si assicura l'assoluta comprensione.

Nel tuo caso, prendi due matrici diagonali generiche, moltiplicale e "vedi cosa succede". Quando hai capito, puoi formalizzare il ragionamento.

[valy1]

e se la matrice è triangolare?? ok il caso k=i e k=j ma K diverso contemporaneamente da k e j nn riesco proprio a capire cosa devo fare..

[Dorian1]

"valy":e se la matrice è triangolare?? ok il caso k=i e k=j ma K diverso contemporaneamente da k e j nn riesco proprio a capire cosa devo fare..

La tecnica è la stessa. Prendi 2 generiche matrici triangolari e fai il prodotto. Se hai capito l'esercizio di prima, capirai anche questo.

[Dorian1]

"valy":e se la matrice è triangolare?? ok il caso k=i e k=j ma K diverso contemporaneamente da k e j nn riesco proprio a capire cosa devo fare..

Altrimenti guarda qui:

Supponiamo di moltiplicare 2 matrici triangolari superiori $A$,$B$. A noi interessano le entrate sotto la diagonale di $AB=C$ (vogliamo che siano nulle). Sia quindi $i>j$ (le entrate sotto la diagonale sono quelle che verificano a questa condizione...)
Sappiamo inoltre che la $k$-esima riga di una matrice triangolare ha le prime $k-1$ entrate nulle, la $m$-esima colonna ha le ultime $n-m$ entrate nulle. Quindi:

$c_(i,j)=sum_(k=1)^n a_(i,k)b_(k,j)$

Per $k=i$ si annulla $b_(k,j)$. Morale della favola:

$i>j => c_(i,j)=0$

che vuol dire che $C$ ha solo zeri sotto la diagonale principale.

Correggo una mia precedente mancanza: per essere diagonale, una matrice deve avere zeri ad ogni entrata che non stia sulla diagonale. Ciò non esclude che vi possano essere degli zeri anche in diagonale...

[valy1]

si si mi ero accorta di questo..