Matrice dell'epplicazione lineare simmetria rispetto a un piano
Ciao a tutti
scrivo per avere aiuto nella soluzione di un problema di algebra/geometria relativo alla simmetria rispetto a un piano
Ecco la traccia:
nello spazio ordinario, si rappresenti con una matrice A, l'applicazione lineare che ad ogni punto associa il punto simmetrico rispetto al piano di equazione "x - z = 0".
All'inizio ho provato la soluzione geometrica: ho cercato di trovare una formula generale che ad ogni punto associasse il simmetrico (usando la retta passante per il punto e perpendicolare al piano, calcolandone la distanza generica) ma il procedimento viene abbastanza macchinoso.
Ho visto che si potrebbe risolvere utilizzando una matrice che ha come unici valori quelli sulla diagonale principale: tutti 1 eccetto l'ultimo che vale -1. Ma a questo punto che cosa devo fare? Prodotto righe per colonne con una matrice che contiene i vettori direzione del piano?
scrivo per avere aiuto nella soluzione di un problema di algebra/geometria relativo alla simmetria rispetto a un piano
Ecco la traccia:
nello spazio ordinario, si rappresenti con una matrice A, l'applicazione lineare che ad ogni punto associa il punto simmetrico rispetto al piano di equazione "x - z = 0".
All'inizio ho provato la soluzione geometrica: ho cercato di trovare una formula generale che ad ogni punto associasse il simmetrico (usando la retta passante per il punto e perpendicolare al piano, calcolandone la distanza generica) ma il procedimento viene abbastanza macchinoso.
Ho visto che si potrebbe risolvere utilizzando una matrice che ha come unici valori quelli sulla diagonale principale: tutti 1 eccetto l'ultimo che vale -1. Ma a questo punto che cosa devo fare? Prodotto righe per colonne con una matrice che contiene i vettori direzione del piano?
Risposte
La matrice della simmetria rispetto ad un piano generico è piuttosto laboriosa da determinare. Viceversa la simmetria rispetto al piano $x-z=0$, che è un piano passante per l'asse Y ( vedi figura), è più facile da gestire. Siano allora P e P' due punti simmetrici rispetto al piano $x-z=0$ e proiettiamoli sul piano ZX in Q e Q'. Inoltre siano R ed R' le proiezioni di Q e Q' sull'asse Z e sull'asse X rispettivamente. A causa della simmetria è agevole dimostrare che i triangoli OQR ed OQ'R' sono congruenti e quindi risulta :
\(\displaystyle \begin{cases} OR'=OR\\P'Q'=PQ\\Q'R'=QR\end{cases} \)
Ovvero :
\(\displaystyle \begin{cases} x'=z\\y'=y\\z'=x\end{cases} \)
Possiamo dunque concludere che la simmetria in questione agisce al seguente modo: per ogni punto P(x,y,z) lascia invariata la coordinata y mentre scambia le altre due fra di loro. In altre parole, detto f l'operatore lineare che configura la nostra simmetria, f risulta algebricamente definito così :
$f(x,y,z)=(z,y,x)$
Ne segue che la matrice M associata ad f è :
$M=((0,0,1),(0,1,0),(1,0,0))$
N.B. Mi trovo tutti "1" sulla diagonale secondaria...
grazie infinite per la risposta...sei stato chiaro gentile ed esaustivo!!! 
e se invece il piano fosse X - Y + Z = 0 ?
Al compito di analisi 2 di ingegneria avevo questo esercizio e non saprei proprio come fare, nemmeno dopo la tua utilissima spiegazione riguardo un piano più semplice
Al compito di analisi 2 di ingegneria avevo questo esercizio e non saprei proprio come fare, nemmeno dopo la tua utilissima spiegazione riguardo un piano più semplice
La formula generale della riflessione che porta il vettore v nel vettore v' è questa:
$v'=v-2{v.n}/{n.n}n$
dove il punto "." indica il prodotto scalare (ordinario) tra vettori ed n indica un qualsiasi vettore normale all'ente geometrico ( che può essere una retta, un piano o un iperpiano) rispetto al quale è eseguita la riflessione.
Nel caso tuo, trovandoci nello spazio tridimensionale ordinario, possiamo porre :
$v=(x,y,z)^t, v'=(x',y',z')^t, n=(1,-1,1)^t$
[la "t" significa che i vettori vanno considerati in colonna]
Applicando la formula si ha:
$(x',y',z')^t=(x,y,z)^t-2{(x,y,z)^t.(1,-1,1)^t}/{(1,-1,1)^t.(1,-1,1)^t}(1,-1,1)^t$
Sviluppando i calcoli si trova che :
$((x'),(y'),(z'))=((1/3x+2/3y-2/3z),(2/3x+1/3y+2/3z),(-2/3x+2/3y+1/3z))$
La matrice della riflessione è :
$M=((1/3,2/3,-2/3),(2/3,1/3,2/3),(-2/3,2/3,1/3))$
N.B. Per favore controlla i calcoli: in queste faccende l'errore ci può...scappare !
$v'=v-2{v.n}/{n.n}n$
dove il punto "." indica il prodotto scalare (ordinario) tra vettori ed n indica un qualsiasi vettore normale all'ente geometrico ( che può essere una retta, un piano o un iperpiano) rispetto al quale è eseguita la riflessione.
Nel caso tuo, trovandoci nello spazio tridimensionale ordinario, possiamo porre :
$v=(x,y,z)^t, v'=(x',y',z')^t, n=(1,-1,1)^t$
[la "t" significa che i vettori vanno considerati in colonna]
Applicando la formula si ha:
$(x',y',z')^t=(x,y,z)^t-2{(x,y,z)^t.(1,-1,1)^t}/{(1,-1,1)^t.(1,-1,1)^t}(1,-1,1)^t$
Sviluppando i calcoli si trova che :
$((x'),(y'),(z'))=((1/3x+2/3y-2/3z),(2/3x+1/3y+2/3z),(-2/3x+2/3y+1/3z))$
La matrice della riflessione è :
$M=((1/3,2/3,-2/3),(2/3,1/3,2/3),(-2/3,2/3,1/3))$
N.B. Per favore controlla i calcoli: in queste faccende l'errore ci può...scappare !
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