Matrice definita positiva

[maolimix]

ho un piccolo dubbio,se una matrice è definita positiva è lecito dire che gli elementi della sua diagonale sono tutti maggiori di zero?oppure vale solo per matrici diagnali definite positive oppure ,in genere nemmeno per quelle.Grazie a chi mi risponderà

[anonymous_af8479]

Sia V(C) uno spazio euclideo complesso n-dimensionale e g(x ; x) una sua forma quadratica hermitiana. Sia A la sua matrice rispetto ad una base fissata.

Allora condizione necessaria e sufficiente affinché g(x ; x) sia definita positiva è che i minori principali della matrice :

M1 =
|A11|

M2 =
|A11,A12|
|A21,A22|

M3 =
|A11,A12,A13|
|A21,A22,A23|
|A31,A32,A33|

ecc. ecc.

siano tutti positivi, e affinché sia definita negativa è che i detti minori siano il primo negativo, il secondo positivo, il terzo negativo ecc.

Ripassata la teoria, direi che solo per una matrice diagonale, affinchè la forma relativa sia definita positiva, occorre (ed è anche condizione sufficiente) che i suoi (della matrice) elementi debbano essere tutti positivi.

S.E.e.O.

Bye.

ps. attenzione !!! Nel campo complesso, la matrice di una forma quadratica hermitiana ha elementi reali solo nella diagonale principale, gli altri elementi sono tali per cui Aik = Aki* per i <> k (l'asterisco indica il complesso coniugato).

[maolimix]

ti ringrazio per la spiegazione.Quindi inutile studiare il prodotto scalare e vedere se è > zero per ogni x(metodo molto difficile in generale) basta studiare i minori di A (ossia vedere se i determinanti vari sono tutti > di zero...) ed ho dimostrato direttamente senza costruirmi la forma quadratica associata.Finalmente un metodo semplice...ho un testo di geometria io che non so come definirlo...