Matrice dati autospazi
Buongiorno..
Un altro piccolo dubbio..
Dati gli autospazi di una matrice 3x3, scrivere una matrice A t.c. $ A=A^2 $
Gli autospazi sono:
$ < ( ( 1 ),( 0 ),( -2 ) ) ( ( 0 ),( 1 ),( 2 ) ) > , < ( ( 2 ), ( -2 ), ( 1 ) ) > $
Io ho detto che:
$ A=HDH^(-1) $
$ A=HDH^(-1)HDH^(-1)=HDDH^(-1)=HD^(2)H^(-1) -> D=D^2 $
e ora??
Un altro piccolo dubbio..
Dati gli autospazi di una matrice 3x3, scrivere una matrice A t.c. $ A=A^2 $
Gli autospazi sono:
$ < ( ( 1 ),( 0 ),( -2 ) ) ( ( 0 ),( 1 ),( 2 ) ) > , < ( ( 2 ), ( -2 ), ( 1 ) ) > $
Io ho detto che:
$ A=HDH^(-1) $
$ A=HDH^(-1)HDH^(-1)=HDDH^(-1)=HD^(2)H^(-1) -> D=D^2 $
e ora??
Risposte
Quindi tu hai libera scelta sugli autovalori?
Si..
Pero' innanzitutto devono essere 2 autovalori diversi in quanto ho 2 autospazi diversi..
e poi ho la condizione che il quadrato di A deve essere uguale ad A..
Pero' innanzitutto devono essere 2 autovalori diversi in quanto ho 2 autospazi diversi..
e poi ho la condizione che il quadrato di A deve essere uguale ad A..
Ok, hai tutto allora per affrontare il problema. Hai 3 vettori indipendenti che stanno negli autospazi. A questo punto la matrice associata all'applicazione rispetto a questa base, come sarà? E che condizioni hai sulla determinazione degli autovalori?
La matrice sara' con determinante diverso da 0, quindi invertibile..
Ma non vedo come possa influire questa cosa sul fatto che $ A^2=A $
Sulla determinazione degli autovalori so che sono diversi da 0... e poi basta credo..
Ma non vedo come possa influire questa cosa sul fatto che $ A^2=A $
Sulla determinazione degli autovalori so che sono diversi da 0... e poi basta credo..
Chi l'ha detto che sarà invertibile? Allora la matrice associata alla funzione rispetto alla base formata dagli autovettori sarà diagonale giusto?
Quindi
$M(f) =((a,0,0),(0,a,0),(0,0,b))$
dove a e b sono gli autovalori relativi al primo e al secondo autospazio.
Ci sei fin qui? Ho semplicemente applicato la funzione rispetto alla base generata dai vettori del primo e del secondo autospazio
Quindi
$M(f) =((a,0,0),(0,a,0),(0,0,b))$
dove a e b sono gli autovalori relativi al primo e al secondo autospazio.
Ci sei fin qui? Ho semplicemente applicato la funzione rispetto alla base generata dai vettori del primo e del secondo autospazio
si ok.. fino a qui ok.
Quindi se dico che questa matrice ( $ D $ ) , deve essere uguale al suo quadrato.. gli autovalori a,b devono essere uguali ai loro quadrati.. e gli unici possibili sono a=1, b=0 o viceversa
Sbaglio?
Quindi se dico che questa matrice ( $ D $ ) , deve essere uguale al suo quadrato.. gli autovalori a,b devono essere uguali ai loro quadrati.. e gli unici possibili sono a=1, b=0 o viceversa
Sbaglio?
Perfetto. Visto che non era difficile? 
ok 
Grazie ^^
A dire il vero fino a qui ci ero arrivato.. ma non sapevo se fosse giusto!
Grazie
Se puoi dai anche uno sguardo al mio post qui sotto??
A presto
Grazie ^^ A dire il vero fino a qui ci ero arrivato.. ma non sapevo se fosse giusto!
Grazie
Se puoi dai anche uno sguardo al mio post qui sotto??
A presto
PS:
Piccola variante:
Se mi da gli autospazi e mi dice di trovare due matrici A,B diverse t.c AB=BA ? Qual è la condizione da imporre?
Piccola variante:
Se mi da gli autospazi e mi dice di trovare due matrici A,B diverse t.c AB=BA ? Qual è la condizione da imporre?
Che brutti ricordi, questa domanda capitò in un compito che non riuscii a passare perché non avevo mai studiato il teorema seguente:
Se due matrici A e B commutano allora esiste una base comune di autovettori e viceversa.
Quindi semplicemente devi prendere gli stessi autovettori come base per le matrici, ma cambiare gli autovalori in modo che le due matrici vengano diverse. Per esempio:
$A = ((1,0,0),(0,1,0),(0,0,0))$ e $B=((4,0,0),(0,4,0),(0,0,2))$
Puoi verificare che commutino.
P.S. Non chiedermi la dimostrazione del teorema perché non me la ricordo e non voglio ricordarmela!!
Una freccia del teorema è facile, se due applicazioni hanno una base comune di autovettori allora le matrice associate saranno diagonali, quindi commutano. Invece l'altra freccia della dimostrazione, cioè se due matrici commutano allora esiste una base di autovettori comune non me la ricordo davvero, e mi pare anche che non fosse proprio banale. Comunque per l'esercizio ti interessa la prima freccia, quella facile!
Edit: modificato il 2 nel posto sbagliato.
Se due matrici A e B commutano allora esiste una base comune di autovettori e viceversa.
Quindi semplicemente devi prendere gli stessi autovettori come base per le matrici, ma cambiare gli autovalori in modo che le due matrici vengano diverse. Per esempio:
$A = ((1,0,0),(0,1,0),(0,0,0))$ e $B=((4,0,0),(0,4,0),(0,0,2))$
Puoi verificare che commutino.
P.S. Non chiedermi la dimostrazione del teorema perché non me la ricordo e non voglio ricordarmela!!
Una freccia del teorema è facile, se due applicazioni hanno una base comune di autovettori allora le matrice associate saranno diagonali, quindi commutano. Invece l'altra freccia della dimostrazione, cioè se due matrici commutano allora esiste una base di autovettori comune non me la ricordo davvero, e mi pare anche che non fosse proprio banale. Comunque per l'esercizio ti interessa la prima freccia, quella facile!
Edit: modificato il 2 nel posto sbagliato.
Uhm..
Il 2 vettore di v non ha un "2" di troppo??
Da quello che ho capito.. una volta che ho gli autovettori di A, quelli di B sono dei multipli di quelli di A?
Il 2 vettore di v non ha un "2" di troppo??
Da quello che ho capito.. una volta che ho gli autovettori di A, quelli di B sono dei multipli di quelli di A?
La matrice che ho scritto è sbagliata, il 2 va nell'ultimo posto della riga.
Sì, devi prendere semplicemente degli autovalori diversi per la matrice A e per la matrice B. Verranno due matrici diagonali diverse che commutano. E non sono neanche simili, in quanto non esiste una matrice che riesca a portarle nella stessa forma.
Sì, devi prendere semplicemente degli autovalori diversi per la matrice A e per la matrice B. Verranno due matrici diagonali diverse che commutano. E non sono neanche simili, in quanto non esiste una matrice che riesca a portarle nella stessa forma.
Esercizio:
$lambda*Id $ è simile a $beta*Id$ , dove Id è l'identità, con $lambda!=beta$?
OT
post numero 666
$lambda*Id $ è simile a $beta*Id$ , dove Id è l'identità, con $lambda!=beta$?
OT
post numero 666
Capito Graziee!! ^^
Graziee!! ^^
Uff.
Non mi torna
Ho come autospazi:
$ <( ( 2 ),( 1 ),( 0 ) )( ( -3 ),( 0 ),( 1 ) )> , <( ( 1 ),( -2 ),( 3 ) )> $
Io ho detto che
$ A= ( ( 2 , -3 , 1 ),( 1 , 0 , -2 ),( 0 , 1 , 3 ) )( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 2 ) )( ( 2 , -3 , 1 ),( 1 , 0 , -2 ),( 0 , 1 , 3 ) )^(-1) $
$ B= ( ( 2 , -3 , 1 ),( 1 , 0 , -2 ),( 0 , 1 , 3 ) )( ( 5 , 0 , 0 ),( 0 , 5 , 0 ),( 0 , 0 , 10 ) )( ( 2 , -3 , 1 ),( 1 , 0 , -2 ),( 0 , 1 , 3 ) )^(-1) $
Dicendo che se AB=BA, A e B hanno una base di autovettori in comune.. con autovalori diversi..
Ma il prodotto non mi torna commutativo..
Non mi torna
Ho come autospazi:
$ <( ( 2 ),( 1 ),( 0 ) )( ( -3 ),( 0 ),( 1 ) )> , <( ( 1 ),( -2 ),( 3 ) )> $
Io ho detto che
$ A= ( ( 2 , -3 , 1 ),( 1 , 0 , -2 ),( 0 , 1 , 3 ) )( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 2 ) )( ( 2 , -3 , 1 ),( 1 , 0 , -2 ),( 0 , 1 , 3 ) )^(-1) $
$ B= ( ( 2 , -3 , 1 ),( 1 , 0 , -2 ),( 0 , 1 , 3 ) )( ( 5 , 0 , 0 ),( 0 , 5 , 0 ),( 0 , 0 , 10 ) )( ( 2 , -3 , 1 ),( 1 , 0 , -2 ),( 0 , 1 , 3 ) )^(-1) $
Dicendo che se AB=BA, A e B hanno una base di autovettori in comune.. con autovalori diversi..
Ma il prodotto non mi torna commutativo..
Non ho ben capito cosa vuoi dimostrare. Se $AB = BA$ allora hanno una base di autovettori comuni? oppure vuoi ancora trovare le due matrici diverse che commutano?
devo trovare queste due matrici che commutano che abbiamo come autospazi quelli li sopra.
io ho provato a scriverle come vedi sopra.. ma mi esce fuori che il prodotto di quelle due matrici non è commutativo..
io ho provato a scriverle come vedi sopra.. ma mi esce fuori che il prodotto di quelle due matrici non è commutativo..
Ma scusa, perché non prendi come matrice A la matrice che rispetto alla base data venga diagonale, esempio:
$A=((a,0,0),(0,a,0),(0,0,c))$
e come matrice B, rispetto alla stessa base, la matrice
$B = ((c,0,0),(0,c,0),(0,0,d))$?
Queste due matrici evidentemente commutano, son diagonali...
E per costruzione hanno quegli autospazi li.
Poi se vuoi potrai applicare il cambiamento di base per portare le matrici nella forma che hanno rispetto alla base canonica.
Edit, modificato il solito errore che faccio sempre, maledette matrici.
$A=((a,0,0),(0,a,0),(0,0,c))$
e come matrice B, rispetto alla stessa base, la matrice
$B = ((c,0,0),(0,c,0),(0,0,d))$?
Queste due matrici evidentemente commutano, son diagonali...
E per costruzione hanno quegli autospazi li.
Poi se vuoi potrai applicare il cambiamento di base per portare le matrici nella forma che hanno rispetto alla base canonica.
Edit, modificato il solito errore che faccio sempre, maledette matrici.
Ci rinuncio. non capisco...
Cioè la matrice A si .. ok.. Mi scelgo gli autovalori a cavolo e li piazzo nella matrice diagonale
La matrice B, perche' ha sulla diagonale c 0 d?? e quella c da un altra parte??
c e d vanno scelti anche quelli a cavolo??
Cioè la matrice A si .. ok.. Mi scelgo gli autovalori a cavolo e li piazzo nella matrice diagonale
La matrice B, perche' ha sulla diagonale c 0 d?? e quella c da un altra parte??
c e d vanno scelti anche quelli a cavolo??
Allora facciamo un po' di ordine sennò non capisci il procedimento
Tu hai tre vettori, 2 che stanno in un sottospazio e 1 che sta in un secondo sottospazio.
Ora vuoi trovare 2 matrici che abbiano gli stessi autovettori ma che siano diverse e che commutino.
Per farlo considera i 3 vettori come base di $RR^3$
A questo punto imponi che le matrici abbiano come autospazi i due autospazi che richiede l'esercizio.
Così facendo le matrici, rispetto a quella base, avranno come coordinate quelle che ho scritto un post sopra, ovvero saranno diagonali. Gli elementi sulla diagonale saranno gli autovalori relativi agli autovettori. Perché le due matrici siano diverse è sufficiente che qualcuno di questi autovalori sia diverso dai corrispondenti dell'altra matrice.
Per esempio
$((1,0,0),(0,1,0),(0,0,0))$ e $((2,0,0),(0,2,0),(0,0,0))$
oppure
$((1,0,0),(0,1,0),(0,0,0)) e ((1,0,0),(0,1,0),(0,0,2))$
Quali che siano gli autovalori non è mportante, a te basta che le matrici commutino.
Ora puoi verificare che due matrici diagonali commutano. Lo fanno.
Fine, hai trovato due matrici con lo stesso autospazio tali che commutano.
Ora suppongo che tu ti stia dando da fare per trovare queste 2 matrici rispetto alla base canonica, invece che rispetto alla base di autovettori. Giusto?
Dunque, se due matrici commutano in una base allora lo fanno in tutte, infatti
$AB=BA -> (H^-1*A*H) *(H^-1*B*H) = (H^-1*B*H) *(H^-1*A*H) = (H^-1*A*B*H) =(H^-1*B*A*H) $
Quindi se non ti torna che commutano nella base canonica è perché hai sbagliato un conto. Fammi vedere come hai trovato l'inversa della matrice del cambiamento di base.
Tu hai tre vettori, 2 che stanno in un sottospazio e 1 che sta in un secondo sottospazio.
Ora vuoi trovare 2 matrici che abbiano gli stessi autovettori ma che siano diverse e che commutino.
Per farlo considera i 3 vettori come base di $RR^3$
A questo punto imponi che le matrici abbiano come autospazi i due autospazi che richiede l'esercizio.
Così facendo le matrici, rispetto a quella base, avranno come coordinate quelle che ho scritto un post sopra, ovvero saranno diagonali. Gli elementi sulla diagonale saranno gli autovalori relativi agli autovettori. Perché le due matrici siano diverse è sufficiente che qualcuno di questi autovalori sia diverso dai corrispondenti dell'altra matrice.
Per esempio
$((1,0,0),(0,1,0),(0,0,0))$ e $((2,0,0),(0,2,0),(0,0,0))$
oppure
$((1,0,0),(0,1,0),(0,0,0)) e ((1,0,0),(0,1,0),(0,0,2))$
Quali che siano gli autovalori non è mportante, a te basta che le matrici commutino.
Ora puoi verificare che due matrici diagonali commutano. Lo fanno.
Fine, hai trovato due matrici con lo stesso autospazio tali che commutano.
Ora suppongo che tu ti stia dando da fare per trovare queste 2 matrici rispetto alla base canonica, invece che rispetto alla base di autovettori. Giusto?
Dunque, se due matrici commutano in una base allora lo fanno in tutte, infatti
$AB=BA -> (H^-1*A*H) *(H^-1*B*H) = (H^-1*B*H) *(H^-1*A*H) = (H^-1*A*B*H) =(H^-1*B*A*H) $
Quindi se non ti torna che commutano nella base canonica è perché hai sbagliato un conto. Fammi vedere come hai trovato l'inversa della matrice del cambiamento di base.
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