Matrice dati autospazi

[gael90rm]

Buongiorno..

Un altro piccolo dubbio..

Dati gli autospazi di una matrice 3x3, scrivere una matrice A t.c. $ A=A^2 $

Gli autospazi sono:

$ < ( ( 1 ),( 0 ),( -2 ) ) ( ( 0 ),( 1 ),( 2 ) ) > , < ( ( 2 ), ( -2 ), ( 1 ) ) > $

Io ho detto che:

$ A=HDH^(-1) $

$ A=HDH^(-1)HDH^(-1)=HDDH^(-1)=HD^(2)H^(-1) -> D=D^2 $

e ora??

[gael90rm]

Allora

Ho come autospazi:

$ <( ( 2 ),( 1 ),( 0 ) )( ( -3 ),( 0 ),( 1 ) )> , <( ( 1 ),( -2 ),( 3 ) )> $

Ho imposto come autovalori per A , 1 e 2
Ho imposto come autovalori per B, 5 e 10

Ottengo quindi:

Dove la prima matrice è quella composta dagli autovettori, la 2 è la matrice diagonale con gli autovalori e la 3 è quella degli autovettori inversa.


$ A= ( ( 2 , -3 , 1 ),( 1 , 0 , -2 ),( 0 , 1 , 3 ) )( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 2 ) )( ( 2 , -3 , 1 ),( 1 , 0 , -2 ),( 0 , 1 , 3 ) )^(-1) $

$ B= ( ( 2 , -3 , 1 ),( 1 , 0 , -2 ),( 0 , 1 , 3 ) )( ( 5 , 0 , 0 ),( 0 , 5 , 0 ),( 0 , 0 , 10 ) )( ( 2 , -3 , 1 ),( 1 , 0 , -2 ),( 0 , 1 , 3 ) )^(-1) $


Dov'è che sbaglio??

[Zkeggia]

Non c'è nessun errore, infatti le due matrici commutano:
dette A la matrice

$A=( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 2 ) )$

e B la matrice

$B=( ( 5 , 0 , 0 ),( 0 , 5 , 0 ),( 0 , 0 , 10 ) )$

chiamo $M$ la matrice

$ M= ( ( 2 , -3 , 1 ),( 1 , 0 , -2 ),( 0 , 1 , 3 ) )A( ( 2 , -3 , 1 ),( 1 , 0 , -2 ),( 0 , 1 , 3 ) )^(-1) $

e G la matrice

$ G= ( ( 2 , -3 , 1 ),( 1 , 0 , -2 ),( 0 , 1 , 3 ) )B( ( 2 , -3 , 1 ),( 1 , 0 , -2 ),( 0 , 1 , 3 ) )^(-1) $ ù

voglio dimostrare che $M*G = G*M$

ok avanti coi conti:
$M*G=( ( 2 , -3 , 1 ),( 1 , 0 , -2 ),( 0 , 1 , 3 ) )A( ( 2 , -3 , 1 ),( 1 , 0 , -2 ),( 0 , 1 , 3 ) )^(-1)* ( ( 2 , -3 , 1 ),( 1 , 0 , -2 ),( 0 , 1 , 3 ) )B( ( 2 , -3 , 1 ),( 1 , 0 , -2 ),( 0 , 1 , 3 ) )^(-1) = ( ( 2 , -3 , 1 ),( 1 , 0 , -2 ),( 0 , 1 , 3 ) )A* B * ( ( 2 , -3 , 1 ),( 1 , 0 , -2 ),( 0 , 1 , 3 ) )^(-1)$ = (Perché $A*B=B*A$) $= ( ( 2 , -3 , 1 ),( 1 , 0 , -2 ),( 0 , 1 , 3 ) )B* A * ( ( 2 , -3 , 1 ),( 1 , 0 , -2 ),( 0 , 1 , 3 ) )^(-1) = ( ( 2 , -3 , 1 ),( 1 , 0 , -2 ),( 0 , 1 , 3 ) )B*( ( 2 , -3 , 1 ),( 1 , 0 , -2 ),( 0 , 1 , 3 ) )^(-1)( ( 2 , -3 , 1 ),( 1 , 0 , -2 ),( 0 , 1 , 3 ) )A*( ( 2 , -3 , 1 ),( 1 , 0 , -2 ),( 0 , 1 , 3 ) )^(-1)= G*M$

[gael90rm]

mannaggia a matlab

Grazie per la pazienza ^^

Un ultima cosa e poi ti giuro che non ti rompo piu'..

Data una base ortogonale di $ R^3 $ , per ricavarmi tutto $ R^3 $ ortogonale, faccio cosi:

[combinazione lineare base ortogonale] prodotto scalare ogni vettore della base ortogonale..

in questo modo mi escono fuori delle condizioni, ovvero il valore dei coefficienti dei vettori della base

Puo ' essere che mi vengano tutti nulli?? e quindi che $R^3$ ortogonale sia 0??

[Zkeggia]

Cosa significa ricavarti tutto $RR^3$ ortogonale? cioè tutti i vettori di $RR^3$ ortogonali a tutti i vettori di $RR^3$?
In questo caso dipende dal prodotto scalare. I vettori del radicale sono i vettori che cerchi. Se il radicale è nullo ovviamente l'unico vettore che può venirti è il vettore nullo.

[gael90rm]

Ma che ne so.. Il prof ha scritto sul compito :

Si determini $R^3 $ ortogonale

e se ad esempio ho la base ortogonale del tipo , sugli esempi lui fa:

[av+bw+cx]°v
[av+bw+cx]°w
[av+bw+cx]°z

con a,b.c parametri..

Da qui si ricava questi parametri e li sostituisce a

av+bw+cx ricavandosi $R^3$ ortogonale

[Zkeggia]

Questa domanda non la capisco. La parola ortogonale è indissolubilmente legata alle parole prodotto scalare. Quindi non sapendo quale è il prodotto scalare a cui si riferisce il prof non so neanche come rispondere alla domanda.

[gael90rm]

il ps a cui si riferisce è quello associato alla matrice simmetrica che ti da all inizio

[Zkeggia]

Aaah, e non puoi sperare che io capisca se non me lo dai tutto il problema!

Allora, $RR^3$ ortogonale è un modo carino per dire $Rad(phi)$. Quindi il radicale del prodotto scalare è il nucleo della matrice associata al prodotto scalare.
Quindi ti trovi il nucleo e quello è $RR^3$ ortogonale.

Il tuo professore invece fa il calcolo esplicito , cioè prende un vettore qualunque $(ax+by+cz)$ e impone che il suo prodotto scalare con i vettori della base faccia nullo, a questo punto per bilinearità quel vettore sarà ortogonale a tutti i vettori di $RR^3$. Quindi è possibilissimo che l'unico vettore in $RR^3$ ortogonale sia il vettore nullo: basta che il radicale sia costituito solo dallo $0$.

[gael90rm]

Perfetto

Grazie mille.. Scusa della rottura di... ****

Buona giornata

[Zkeggia]

tranqui, mi diverte dare consigli, almeno ho una scusa per non studiare! cosa che con questo caldo...

buona giornata!