Matrice associata rispetto alla base del dominio e del codominio
Salve a tutti, ho trovato difficoltà nella risoluzione di questo esercizio.
Data l'applicazione da $ f:R^2-> R^2 $ l'endomorfismo a cui è associata la matrice:
$ A=( ( 1 , 1),( 0, 1) ) $
Determinare la matrice associata a f rispetto alla base
B1=((3,1),(2,0)) nel dominio
e alla base B2=((1,2),(1,1)) nel codominio.
Scrivere una base e un sistema di generatori per lo spazio vettoriale $ R^2 $.
Non riesco a capire come fare questa matrice associata sia nel dominio che nel codominio.
grazie mille in anticipo!!!
Data l'applicazione da $ f:R^2-> R^2 $ l'endomorfismo a cui è associata la matrice:
$ A=( ( 1 , 1),( 0, 1) ) $
Determinare la matrice associata a f rispetto alla base
B1=((3,1),(2,0)) nel dominio
e alla base B2=((1,2),(1,1)) nel codominio.
Scrivere una base e un sistema di generatori per lo spazio vettoriale $ R^2 $.
Non riesco a capire come fare questa matrice associata sia nel dominio che nel codominio.
grazie mille in anticipo!!!
Risposte
Io so come trovare una matrice associata, non capisco come si trova nel dominio e nel codominio, grazie lo stesso.
Calcolo le immagini dei vettori di B1 (usando la matrice A) e le esprimo nella base B2:
$ f( ( 3 ),( 1 ) ) = ( ( 1 , 1),( 1, 0 ) ) ( ( 3 ),( 1 ) ) =((4),(1))=( ( 1 , 1),( 2, 1) ) = ( ( -3(1) , +7(1) ),( 2, 1 ) ) $
$ f( ( 2),( 0 ) ) = ( ( 1 , 1),( 1, 0 ) ) ( ( 2 ),( 0 ) ) =((2),(0))=( ( 1 , 1),( 2, 1) ) = ( ( -2(1) , +4(1) ),( 2, 1 ) ) $
La matrice associata a f rispetto alle basi B1 e B2 si ottiene mettendo in colonna le componenti trovate:
(–3 –2)
( 7 . 4 )
Verifica matriciale:
(1 1)‾¹(1 1)(3 2) = (–3 –2)
(2 1) . (0 1)(1 0) . ( 7 . 4 )
Io ho fatto cosi, ma non so se è giusto.
$ f( ( 3 ),( 1 ) ) = ( ( 1 , 1),( 1, 0 ) ) ( ( 3 ),( 1 ) ) =((4),(1))=( ( 1 , 1),( 2, 1) ) = ( ( -3(1) , +7(1) ),( 2, 1 ) ) $
$ f( ( 2),( 0 ) ) = ( ( 1 , 1),( 1, 0 ) ) ( ( 2 ),( 0 ) ) =((2),(0))=( ( 1 , 1),( 2, 1) ) = ( ( -2(1) , +4(1) ),( 2, 1 ) ) $
La matrice associata a f rispetto alle basi B1 e B2 si ottiene mettendo in colonna le componenti trovate:
(–3 –2)
( 7 . 4 )
Verifica matriciale:
(1 1)‾¹(1 1)(3 2) = (–3 –2)
(2 1) . (0 1)(1 0) . ( 7 . 4 )
Io ho fatto cosi, ma non so se è giusto.
Ciao.
Scusami se ti ho un po' trascurato.
Riporto i dati per comodità:
Endomorfismo: $f:RR^2 rightarrow RR^2$
Matrice $A$ associata all'endomorfismo $f$ (suppongo rispetto alla base canonica $E={(1,0),(0,1)}$): $A=((1,1),(0,1))$
Base del dominio: $B_1={(3,1),(2,0)}$
Base del codominio: $B_2={(1,2),(1,1)}$
Indicando con il simbolo $M_(B')^B$ la generica matrice del cambiamento di base dalla base $B$ alla base $B'$ (dò per scontata la procedura di ricavo di quel tipo di matrice, a meno che non vi siano ulteriori esigenze di chiarimento da parte tua), la matrice che ti interessa trovare si calcola in questo modo:
$M_(B_2)^E*A*M_E^(B_1)=((-1,1),(2,-1))*((1,1),(0,1))*((3,2),(1,0))=((-3,-2),(7,4))$
Spero di essere stato più chiaro (e spero di non aver sbagliato i conti...).
Saluti.
Scusami se ti ho un po' trascurato.
Riporto i dati per comodità:
Endomorfismo: $f:RR^2 rightarrow RR^2$
Matrice $A$ associata all'endomorfismo $f$ (suppongo rispetto alla base canonica $E={(1,0),(0,1)}$): $A=((1,1),(0,1))$
Base del dominio: $B_1={(3,1),(2,0)}$
Base del codominio: $B_2={(1,2),(1,1)}$
Indicando con il simbolo $M_(B')^B$ la generica matrice del cambiamento di base dalla base $B$ alla base $B'$ (dò per scontata la procedura di ricavo di quel tipo di matrice, a meno che non vi siano ulteriori esigenze di chiarimento da parte tua), la matrice che ti interessa trovare si calcola in questo modo:
$M_(B_2)^E*A*M_E^(B_1)=((-1,1),(2,-1))*((1,1),(0,1))*((3,2),(1,0))=((-3,-2),(7,4))$
Spero di essere stato più chiaro (e spero di non aver sbagliato i conti...).
Saluti.
Grazie mille!
Volevo porti un'altra domanda; se devo determinare una base del nucleo e una per l'immagine rispetto alla base canonica sia nel dominio sia nel codominio, devo calcolarlo sia per l'endomorfismo dato che per la sua inversa (codominio)?
Volevo porti un'altra domanda; se devo determinare una base del nucleo e una per l'immagine rispetto alla base canonica sia nel dominio sia nel codominio, devo calcolarlo sia per l'endomorfismo dato che per la sua inversa (codominio)?
Ciao.
In generale, il nucleo di un'applicazione lineare è un sottospazio vettoriale del suo dominio, mentre l'immagine dell'applicazione lineare è sottospazio vettoriale del codominio.
Nel caso di endomorfismi, essendo dominio e codominio coincidenti (quindi, in particolare, dominio e codominio avranno la stessa dimensione), si ha che l'endomorfismo è iniettivo se e solo se è suriettivo, il che ci porta a dire che se l'endomorfismo è iniettivo, allora è anche biiettivo, cioè invertibile (e viceversa).
Quindi, sempre parlando di endomorfismi, se il nucleo dell'endomorfismo è banale (contenente, cioè, il solo vettore nullo), allora l'endomorfismo è invertibile (e viceversa).
Nel caso in cui il nucleo dell'endomorfismo contenesse un vettore non nullo, l'applicazione non sarebbe invertibile, quindi il problema da te posto non avrebbe senso, almeno rispetto al fatto di cercare nucleo e immagine dell'applicazione inversa.
Non so se mi sono spiegato adeguatamente rispetto al tuo ultimo quesito.
In caso contrario, chiedimi pure ulteriori chiarimenti.
Saluti.
In generale, il nucleo di un'applicazione lineare è un sottospazio vettoriale del suo dominio, mentre l'immagine dell'applicazione lineare è sottospazio vettoriale del codominio.
Nel caso di endomorfismi, essendo dominio e codominio coincidenti (quindi, in particolare, dominio e codominio avranno la stessa dimensione), si ha che l'endomorfismo è iniettivo se e solo se è suriettivo, il che ci porta a dire che se l'endomorfismo è iniettivo, allora è anche biiettivo, cioè invertibile (e viceversa).
Quindi, sempre parlando di endomorfismi, se il nucleo dell'endomorfismo è banale (contenente, cioè, il solo vettore nullo), allora l'endomorfismo è invertibile (e viceversa).
Nel caso in cui il nucleo dell'endomorfismo contenesse un vettore non nullo, l'applicazione non sarebbe invertibile, quindi il problema da te posto non avrebbe senso, almeno rispetto al fatto di cercare nucleo e immagine dell'applicazione inversa.
Non so se mi sono spiegato adeguatamente rispetto al tuo ultimo quesito.
In caso contrario, chiedimi pure ulteriori chiarimenti.
Saluti.
Guarda ad esempio questo esercizio:
Dato l'endomorfismo da $ R^3 -> R^3 $ definito dalla legge $ F(x1,x2,x3)=(x1+x2, x1-2x3, x2+x3) $
Determinare una base del nucleo e una per l'immagine di f rispetto alla base canonica sia nel dominio sia nel codominio.
Io ho ottenuto questi risultati:
la base del nucleo è il vettore nullo, mentre la base delle immagini è uno dei 3 vettori da cui è composta la matrice.
il mio problema sta nel capire come studiarla sia nel dominio che nel codominio.
Dato l'endomorfismo da $ R^3 -> R^3 $ definito dalla legge $ F(x1,x2,x3)=(x1+x2, x1-2x3, x2+x3) $
Determinare una base del nucleo e una per l'immagine di f rispetto alla base canonica sia nel dominio sia nel codominio.
Io ho ottenuto questi risultati:
la base del nucleo è il vettore nullo, mentre la base delle immagini è uno dei 3 vettori da cui è composta la matrice.
il mio problema sta nel capire come studiarla sia nel dominio che nel codominio.
Ciao.
Facendo qualche conto, si trova subito che $KerF={(0,0,0)} Rightarrow dimKerF=0$.
Una qualsiasi base di un qualsiasi (sotto)spazio vettoriale non può contenere il vettore nullo, perchè ogni base è formata da vettori linearmente indipendenti (la condizione di indipendenza lineare di un insieme di vettori verrebbe a mancare se tra quei vettori fosse presente anche il vettore nullo), quindi è più corretto affermare che, in questo caso, la base di $KerF$ (o dello spazio vettoriale banale in genere) è vuota, il che conferma il fatto che $dimKerF=0$.
Ora, dal momento che abbiamo a che fare con $F in End(RR^3)$, siccome $KerF={(0,0,0)}$, allora l'endomorfismo è biiettivo (vedi mio messaggio precedente), fatto confermato dal teorema nullità + rango, da cui si deduce che $dim ImF=3$, il che porta, necessariamente, alla conseguenza che $ImF=RR^3$; quindi una base di $ImF$ è costituita da una qualunque base di $RR^3$, compresa quella canonica $E$.
Spero di essere stato esauriente.
Saluti.
Facendo qualche conto, si trova subito che $KerF={(0,0,0)} Rightarrow dimKerF=0$.
Una qualsiasi base di un qualsiasi (sotto)spazio vettoriale non può contenere il vettore nullo, perchè ogni base è formata da vettori linearmente indipendenti (la condizione di indipendenza lineare di un insieme di vettori verrebbe a mancare se tra quei vettori fosse presente anche il vettore nullo), quindi è più corretto affermare che, in questo caso, la base di $KerF$ (o dello spazio vettoriale banale in genere) è vuota, il che conferma il fatto che $dimKerF=0$.
Ora, dal momento che abbiamo a che fare con $F in End(RR^3)$, siccome $KerF={(0,0,0)}$, allora l'endomorfismo è biiettivo (vedi mio messaggio precedente), fatto confermato dal teorema nullità + rango, da cui si deduce che $dim ImF=3$, il che porta, necessariamente, alla conseguenza che $ImF=RR^3$; quindi una base di $ImF$ è costituita da una qualunque base di $RR^3$, compresa quella canonica $E$.
Spero di essere stato esauriente.
Saluti.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo