Matrice associata ad una funzione bilineare
Chiedo anticipatamente venia per eventuali errori nello scrivere le formule ( è il mio secondo messaggio dopo quello di presentazione ! 
)
Ciò premesso veniamo al succo della questione.
l'esercizio si presenta così:
Sia b: $M(nxn,RR) x M(nxn,RR) rarr RR$ la seguente applicazione
$b(A,B)=tr(AB) \ \ \ \ \ AA A,B in M(nxn,RR)$
a)dimostrare che è bilineare e simmetrica
b) sia n=2; trovare $M_\epsilon(b)$ dove $\epsilon = {E_{1,1},E_{2,2},E_{1,2},E_{2,1} }$.
Per il punto a) non ho riscontrato grandi problemi, ho trovato invece forte difficoltà nel secondo !
Sarebbe ottimo se qualcuno riuscisse a spiegarmi come ottenere tale matrice associata, non sono interessato tanto al risultato quanto al procedimento.
Un grazie in anticipo a tutti per l'attenzione.
Edit: dopo aver letto il regolamento mi sono reso conto di non aver postato il mio tentativo di soluzione:
Ho proceduto dimostrando additività e omogeneità della applicazione b, [$b(A+A^1,B)=b(A,B) + b(A^1,B)$ e così via]
ho proseguito con la simmetria della stessa [$b(A,B)=b(B,A)$]. Nel tentare di applicare il metodo classico per trovare la matrice associata [calcolare i trasformati della base di partenza e leggerli nella base di arrivo] ho subito riscontrato un problema derivato dal fatto che non sapevo applicare b agli elementi della base $\epsilon$.
)Ciò premesso veniamo al succo della questione.
l'esercizio si presenta così:
Sia b: $M(nxn,RR) x M(nxn,RR) rarr RR$ la seguente applicazione
$b(A,B)=tr(AB) \ \ \ \ \ AA A,B in M(nxn,RR)$
a)dimostrare che è bilineare e simmetrica
b) sia n=2; trovare $M_\epsilon(b)$ dove $\epsilon = {E_{1,1},E_{2,2},E_{1,2},E_{2,1} }$.
Per il punto a) non ho riscontrato grandi problemi, ho trovato invece forte difficoltà nel secondo !
Sarebbe ottimo se qualcuno riuscisse a spiegarmi come ottenere tale matrice associata, non sono interessato tanto al risultato quanto al procedimento.
Un grazie in anticipo a tutti per l'attenzione.
Edit: dopo aver letto il regolamento mi sono reso conto di non aver postato il mio tentativo di soluzione:
Ho proceduto dimostrando additività e omogeneità della applicazione b, [$b(A+A^1,B)=b(A,B) + b(A^1,B)$ e così via]
ho proseguito con la simmetria della stessa [$b(A,B)=b(B,A)$]. Nel tentare di applicare il metodo classico per trovare la matrice associata [calcolare i trasformati della base di partenza e leggerli nella base di arrivo] ho subito riscontrato un problema derivato dal fatto che non sapevo applicare b agli elementi della base $\epsilon$.
Risposte
ALLELUJA! Un nuovo utente che legge il regolamento e scrive le formule come si deve! Grande!
Per il punto $b$, puoi considerare $M(2\times 2, \mathbb{R})$ come $\mathbb{R}^4$. La matrice associata all'applicazione avrà dimensioni $1\times 4$. Basta che guardi l'effetto di $b$ su ogni vettore di $\epsilon$.
Paola
Per il punto $b$, puoi considerare $M(2\times 2, \mathbb{R})$ come $\mathbb{R}^4$. La matrice associata all'applicazione avrà dimensioni $1\times 4$. Basta che guardi l'effetto di $b$ su ogni vettore di $\epsilon$.
Paola
Ti ringrazio per la tua risposta immediata e per i complimenti 
L'idea di dover ottenere una matrice $1 x 4$ era subito venuta anche a me, l'unico problema è che non riesco ad applicare $b$ ai vettori di $\epsilon$ in quanto non capisco cosa devo svolgere, ad esempio con questo tentativo $b(E_{1,1},B) \ \ con \ \ B=((a,b),(c,d))$ sono sulla buona strada oppure ho totalmente sbandato?
L'idea di dover ottenere una matrice $1 x 4$ era subito venuta anche a me, l'unico problema è che non riesco ad applicare $b$ ai vettori di $\epsilon$ in quanto non capisco cosa devo svolgere, ad esempio con questo tentativo $b(E_{1,1},B) \ \ con \ \ B=((a,b),(c,d))$ sono sulla buona strada oppure ho totalmente sbandato?
Scusa, ho detto una castroneria (non so perchè pensavo alla lineare, non bilineare!!)
Sarà una $2\times 2$. Prova iniziando a calcolarti $b(E_{ij}, E_{ks})$ per ogni possibile indice $i,j,k,s$.
Paola
Sarà una $2\times 2$. Prova iniziando a calcolarti $b(E_{ij}, E_{ks})$ per ogni possibile indice $i,j,k,s$.
Paola
Ho calcolato $b(E_{i,j},E_{k,s})$ per ogni possibile combinazione di $i,j,k,s$ trovando che restituisce il valore $1$ scegliendo le coppie $(E_{1,1},E_{1,1}),(E_{1,2},E_{2,1}),(E_{2,1},E_{1,2}),(E_{2,2},E_{2,2})$ e il valore $0$ in tutti gli altri casi, ma non riesco comunque a dedurre il passo successivo! 
Nessuno sa aiutarmi? anche con i consigli di Paola (che ringrazio ancora) non sono riuscito ad arrivare alla conclusione 
Forse sono riuscito finalmente a risolvere il mio dubbio 
Paola mi aveva suggerito che la matrice cercata sarebbe stata $2x2$, ma riflettendo sul problema e riguardando la definizione di matrice associata a una forma bilineare penso che la matrice cercata sarà della forma $4x4$, ho infatti usato vettori di $RR^4$ come da lei suggeritomi.
Ho scritto una matrice $A in M_{4,4}$ che al posto $a_{i,j}$ contiene i valori $b(e_i,e_j)$.
Eseguendo i conti la matrice trovata è $((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,0,1),(0,0,1,0))$ la sua simmetria mi conforta in quanto è associata appunto a una applicazione simmetrica.
Aspetto ansioso una vostra conferma o se avessi sbagliato uno spunto per ritentare!
Paola mi aveva suggerito che la matrice cercata sarebbe stata $2x2$, ma riflettendo sul problema e riguardando la definizione di matrice associata a una forma bilineare penso che la matrice cercata sarà della forma $4x4$, ho infatti usato vettori di $RR^4$ come da lei suggeritomi.
Ho scritto una matrice $A in M_{4,4}$ che al posto $a_{i,j}$ contiene i valori $b(e_i,e_j)$.
Eseguendo i conti la matrice trovata è $((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,0,1),(0,0,1,0))$ la sua simmetria mi conforta in quanto è associata appunto a una applicazione simmetrica.
Aspetto ansioso una vostra conferma o se avessi sbagliato uno spunto per ritentare!
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