Matrice associata ad una applicazione lineare
Salve ragazzi, ecco il mio problema :
Sia F : \(\displaystyle R^4 → R^4 \) l' applicazione lineare definita da :
F$((1),(0),(0),(0))$ = $((0),(0),(0),(1))$ , F$((1),(2),(0),(0))$ = $((4),(0),(2),(1))$ , F$((1),(2),(3),(0))$ = $((4),(3),(2),(1))$ , F$((1),(2),(3),(4))$ = $((0),(3),(2),(1))$.
Calcolare la matrice associata ad F rispetto alla base canonica in partenza ed in arrivo.
So che voi rispondete principalmente se l'utente dà prima una sua prova di risoluzione, tuttavia sto studiando questo argomento in questi giorni, e cercando sul web ho trovato esempi con scritture diverse, che non mi hanno aiutato a capire come risolverne uno di questo tipo..e non so proprio da dove cominciare
Da quel che ho capito, devo passare da una base a (a1,a2,a3,a4), che sarebbero le colonne di destra, alla base F (colonne di sinistra), attraverso un sistema, ma come lo scrivo??
Grazie in anticipo,
Stefano.
Sia F : \(\displaystyle R^4 → R^4 \) l' applicazione lineare definita da :
F$((1),(0),(0),(0))$ = $((0),(0),(0),(1))$ , F$((1),(2),(0),(0))$ = $((4),(0),(2),(1))$ , F$((1),(2),(3),(0))$ = $((4),(3),(2),(1))$ , F$((1),(2),(3),(4))$ = $((0),(3),(2),(1))$.
Calcolare la matrice associata ad F rispetto alla base canonica in partenza ed in arrivo.
So che voi rispondete principalmente se l'utente dà prima una sua prova di risoluzione, tuttavia sto studiando questo argomento in questi giorni, e cercando sul web ho trovato esempi con scritture diverse, che non mi hanno aiutato a capire come risolverne uno di questo tipo..e non so proprio da dove cominciare
Da quel che ho capito, devo passare da una base a (a1,a2,a3,a4), che sarebbero le colonne di destra, alla base F (colonne di sinistra), attraverso un sistema, ma come lo scrivo??
Grazie in anticipo,
Stefano.
Risposte
Tu vuoi una matrice che entra e esca in base canonica.
Definiamo, come dici tu, due basi $A={(0,0,0,1),(4,0,2,1),(4,3,2,1),(0,3,2,1)}$ e $B={(1,0,0,0),(1,2,0,0),(1,2,3,0),(1,2,3,4)}$
Allora la matrice $((0,4,4,0),(0,0,3,3),(0,2,2,2),(1,1,1,1))$ è la matrice che ha per colonne i vettori della base A e puoi vederla come la matrice dell'applicazione identità che passa dalla base A alla base canonica C.
La matrice $((1,1,1,1),(0,2,2,2),(0,0,3,3),(0,0,0,4))$ è la matrice che ha per colonne i vettori della base B e puoi vederla come la matrice dell'applicazione identità che passa dalla base B alla base canonica C.
Quindi la nostra matrice cercata è $((0,4,4,0),(0,0,3,3),(0,2,2,2),(1,1,1,1))*((1,1,1,1),(0,2,2,2),(0,0,3,3),(0,0,0,4))^(-1)= ((0,2,0,-1),(0,0,1,0),(0,1,0,0),(1,0,0,0))$
Definiamo, come dici tu, due basi $A={(0,0,0,1),(4,0,2,1),(4,3,2,1),(0,3,2,1)}$ e $B={(1,0,0,0),(1,2,0,0),(1,2,3,0),(1,2,3,4)}$
Allora la matrice $((0,4,4,0),(0,0,3,3),(0,2,2,2),(1,1,1,1))$ è la matrice che ha per colonne i vettori della base A e puoi vederla come la matrice dell'applicazione identità che passa dalla base A alla base canonica C.
La matrice $((1,1,1,1),(0,2,2,2),(0,0,3,3),(0,0,0,4))$ è la matrice che ha per colonne i vettori della base B e puoi vederla come la matrice dell'applicazione identità che passa dalla base B alla base canonica C.
Quindi la nostra matrice cercata è $((0,4,4,0),(0,0,3,3),(0,2,2,2),(1,1,1,1))*((1,1,1,1),(0,2,2,2),(0,0,3,3),(0,0,0,4))^(-1)= ((0,2,0,-1),(0,0,1,0),(0,1,0,0),(1,0,0,0))$
Ok chiaro grazie mille, e se non è troppo, da questo si può capire se questa applicazione è un isomorfismo?
Per vedere se è un isomorfismo, dobbiamo controllare che l'applicazione sia iniettiva e suriettiva.
Ora non vorrei dirti una cavolata, ma se controlliamo il rango della matrice che ci siamo trovati notiamo che è 4 e quindi la dimensione dell'immagine è 4 (e da ciò deduciamo che è suriettiva) e la dimensione del ker è 4(dim dello spazio)-4(rango)=0 e quindi è anche iniettiva...L'applicazione è allora un isomorfismo...
Ora non vorrei dirti una cavolata, ma se controlliamo il rango della matrice che ci siamo trovati notiamo che è 4 e quindi la dimensione dell'immagine è 4 (e da ciò deduciamo che è suriettiva) e la dimensione del ker è 4(dim dello spazio)-4(rango)=0 e quindi è anche iniettiva...L'applicazione è allora un isomorfismo...
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