Matrice associata ad un endomorfismo
Ciao a tutti. Sono alle prese con il ripasso di Algebra/Geometria e mi sono bloccato in un punto.
Esercizio:
Si consideri la base ortonormale $B$ di $E^3$ costituita dai vettori
$v_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} (1,1,0) , v_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} (1,-1,0) , v_3 = (0,0,1)$
e l'endomorfismo $\varphi: E^3 \to E^3$ tale che $M_{\varphi}^{B,B} = A$ dove
A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
Posta $\varepsilon = (e_1, e_2, e_3)$ la base canonica di $E^3$, determinare le immagini dei vettori di $\varepsilon$, cioè $\varphi (e_1) ...$ espresse sulla base canonica.
In pratica devo determinare $M_{\varphi}^{\varepsilon, \varepsilon}$ da quanto ho capito.
Quello che so è che le colonne della matrice $A$ sono le immagini dei vettori della base $B$, espressi nella base $B$.
Ho pensato di calcolare i vettori della base canonica nella base $B$ e poi fare l'applicazione, in questo modo otterrei $M_{\varphi}^{\varepsilon, B}$ giusto? Mi sono bloccato..
Esercizio:
Si consideri la base ortonormale $B$ di $E^3$ costituita dai vettori
$v_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} (1,1,0) , v_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} (1,-1,0) , v_3 = (0,0,1)$
e l'endomorfismo $\varphi: E^3 \to E^3$ tale che $M_{\varphi}^{B,B} = A$ dove
A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
Posta $\varepsilon = (e_1, e_2, e_3)$ la base canonica di $E^3$, determinare le immagini dei vettori di $\varepsilon$, cioè $\varphi (e_1) ...$ espresse sulla base canonica.
In pratica devo determinare $M_{\varphi}^{\varepsilon, \varepsilon}$ da quanto ho capito.
Quello che so è che le colonne della matrice $A$ sono le immagini dei vettori della base $B$, espressi nella base $B$.
Ho pensato di calcolare i vettori della base canonica nella base $B$ e poi fare l'applicazione, in questo modo otterrei $M_{\varphi}^{\varepsilon, B}$ giusto? Mi sono bloccato..
Risposte
Ti aiuta sapere che $ M_phi^(epsilon,epsilon)=(M_phi^(epsilon,B))^-1*M_phi^(B,B)*M_phi^(epsilon,B) $ ?
Certo che mi aiuta. Grazie! La mia intuizione su $M_{\varphi}^{\varepsilon, B}$ è giusta invece?
Si è giusta.
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