Matrice associata ad automorfismo su spazio vettoriale in somma diretta
Salve a tutti, sono nuovo sul forum quindi chiedo scusa per eventuali errori.
Studiando teoria delle rappresentazioni mi sono imbattuto in una nozione di algebra lineare che viene data dal mio libro quasi per scontata, ma i conti non mi tornano.
In pratica ho una spazio vettoriale sui complessi di dimensione finita che scrivo in somma diretta W=W'⊕W" ed ho un automorfismo di W dove W' e W" sono stabili (cioè ∀w' in W' f(w') sta in W' e lo stesso per W").
Pertanto poiché ogni w in W si può scrivere in modo unico come w=w' + w" con w' in W' e w" in W" posso dire che f(w) si scriva in modo unico come f(w)= f(w')+f(w") e fin qui non ci sono problemi. Mi dice poi che se prendo le matrici associate delle restrizioni di f su W' e W" rispetto ad una certa base e le chiamo A' e A'' vale che la matrice associata ad f rispetto alla base precedente è a blocchi cosi fatta: ( ( A' , 0 ),( 0 ,A'') ) .
Il problema grande arriva quando afferma con certezza che per quello già detto la matrice è unitaria e quindi i suoi autovalori hanno valore assoluto 1. Questa cosa non riesco proprio a spiegarmela.
Chiedo scusa in anticipo per la pessima formulazione ma non ho ancora ben capito come inserire formule e i vari simboli.
Studiando teoria delle rappresentazioni mi sono imbattuto in una nozione di algebra lineare che viene data dal mio libro quasi per scontata, ma i conti non mi tornano.
In pratica ho una spazio vettoriale sui complessi di dimensione finita che scrivo in somma diretta W=W'⊕W" ed ho un automorfismo di W dove W' e W" sono stabili (cioè ∀w' in W' f(w') sta in W' e lo stesso per W").
Pertanto poiché ogni w in W si può scrivere in modo unico come w=w' + w" con w' in W' e w" in W" posso dire che f(w) si scriva in modo unico come f(w)= f(w')+f(w") e fin qui non ci sono problemi. Mi dice poi che se prendo le matrici associate delle restrizioni di f su W' e W" rispetto ad una certa base e le chiamo A' e A'' vale che la matrice associata ad f rispetto alla base precedente è a blocchi cosi fatta: ( ( A' , 0 ),( 0 ,A'') ) .
Il problema grande arriva quando afferma con certezza che per quello già detto la matrice è unitaria e quindi i suoi autovalori hanno valore assoluto 1. Questa cosa non riesco proprio a spiegarmela.
Chiedo scusa in anticipo per la pessima formulazione ma non ho ancora ben capito come inserire formule e i vari simboli.
Risposte
Senza nessun'altra ipotesi, non vedo per quale motivo $A$ debba essere unitaria. Prendi una matrice diagonale invertibile $2\times 2$ non unitaria e leggila come la somma di due automorfismi di $\mathbb C$. Sei esattamente nella condizione che descrivi...
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