Matrice associata ad applicazione lineare

[riki1997]

Salve ho un dubbio su come scrivere la matrice associata rispetto alla base canonica dell'endomorfismo:

$ f:R_[2 ][x]rarr R_[2][x] $

Tale che $ f(ax^2 +bx + c):= (a-b+c)x^2 +2bx -c $

[riki1997]

"feddy":
Ma la $f$ che hai scritto non è la stessa che ho io. Non hai derivato correttamente. Suppongo sia un errore di battitura.

No stavo considerando un'altra $ f $ , quello che mi chiedevo è: due applicazioni lineari uguali, nel nostro caso $ f(ax^2+bx+c) $ , che hanno meccanismo diverso, in un caso la derivata $ 2ax+b $ ,nell'altro $ 2ax^2+bx $ , è possibile che abbiano la stessa matrice rispetto la base canonica ?

perchè la matrice che trovo $ f(ax^2+bx+c):=2ax^2+bx $ è la stessa che hai trovato tu

[feddy]

Hai ragione. Ho sbagliato a scrivere la matrice associata a $Df$. Sarà stata l'ora e lo studio per gli esami.

[feddy]

Prova a scriverla tu ora

[riki1997]

"feddy":Prova a scriverla tu ora

Tranquillo ti capisco !
Quindi in conclusione essendo la base di $ R_2[x] $ = $ (x^2,x,1) $
il generico vettore di $ 2ax+b $ rispetto alla base stessa sarà : $ (0,2a,b) $
quindi la matrice sarà: $ [ ( 0 , 0 , 0 ),( 2 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ) ] $

[feddy]

Di solito è convenzione mettere l'immagine del primo vettore della base canonica nella prima colonna, l'immagine del secondo nella seconda colonna, e così via...

$[ ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ]$

[riki1997]

"riccardoanza":[quote="feddy"]Il tuo dubbio dove sta scusa? Almeno dì quello...


Devi trovare le immagini tramite $f$ dei vettori della base canonica.
Qui stai lavorando con polinomi di grado al più $2$, della forma $p(x)=ax^2+bx+c$.

Se preferisci lavorare in coordinate puoi usare un opportuno isomorfismo che lega lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali con $RR^n$.

In particolare, $R_2[X]\congR^{n+1}$

Il mio dubbio è come faccio a scrivere la matrice associata?
Ho pensato di scivere la generica immagine di $ f $ sotto forma di vettore, ovvero:

$ [(a-b+c),2b,-c] $

quindi anche la prima che abbiamo trovato adava scritta secondo questa convenzione ?

la matrice associata dovrebbe realizzare tale immagine rispetto alla base canonica mediante il prodotto matrice-vettore:

$ [a,b,c]rarr[(a-b+c),2b,-c] $

ed esso è dato da

$ [ ( a-b+c ),( 2b ),( -c ) ] =[ ( a ),( b ),( c ) ] [ ( 1 , -1 , 1 ),( 0 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , -1 ) ] $

quindi la matrice associata è proprio $ [ ( 1 , -1 , 1 ),( 0 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , -1 ) ] $ ?[/quote]

quindi anche la prima che abbiamo trovato andava scritta secondo questa convenzione

[feddy]

sì, e l'hai rispettata come vedi. Ad ogni modo si tratta solo di convenzioni. Per la ricerca del nucleo,immagine, ecc. non cambia niente dal punto di vista operativo

[riki1997]

"feddy":sì, e l'hai rispettata come vedi. Ad ogni modo si tratta solo di convenzioni. Per la ricerca del nucleo,immagine, ecc. non cambia niente dal punto di vista operativo

Grazie per l'aiuto e buona fortuna per gli esami !

[feddy]

Grazie, anche a te !