Matrice associata ad applicazione lineare
Salve ho un dubbio su come scrivere la matrice associata rispetto alla base canonica dell'endomorfismo:
$ f:R_[2 ][x]rarr R_[2][x] $
Tale che $ f(ax^2 +bx + c):= (a-b+c)x^2 +2bx -c $
$ f:R_[2 ][x]rarr R_[2][x] $
Tale che $ f(ax^2 +bx + c):= (a-b+c)x^2 +2bx -c $
Risposte
Il tuo dubbio dove sta scusa? Almeno dì quello...
Devi trovare le immagini tramite $f$ dei vettori della base canonica.
Qui stai lavorando con polinomi di grado al più $2$, della forma $p(x)=ax^2+bx+c$.
Se preferisci lavorare in coordinate puoi usare un opportuno isomorfismo che lega lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali con $RR^n$.
In particolare, $R_2[X]\congR^{n+1}$
Devi trovare le immagini tramite $f$ dei vettori della base canonica.
Qui stai lavorando con polinomi di grado al più $2$, della forma $p(x)=ax^2+bx+c$.
Se preferisci lavorare in coordinate puoi usare un opportuno isomorfismo che lega lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali con $RR^n$.
In particolare, $R_2[X]\congR^{n+1}$
"feddy":
Il tuo dubbio dove sta scusa? Almeno dì quello...
Devi trovare le immagini tramite $f$ dei vettori della base canonica.
Qui stai lavorando con polinomi di grado al più $2$, della forma $p(x)=ax^2+bx+c$.
Se preferisci lavorare in coordinate puoi usare un opportuno isomorfismo che lega lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali con $RR^n$.
In particolare, $R_2[X]\congR^{n+1}$
Il mio dubbio è come faccio a scrivere la matrice associata?
Ho pensato di scivere la generica immagine di $ f $ sotto forma di vettore, ovvero:
$ [(a-b+c),2b,-c] $
la matrice associata dovrebbe realizzare tale immagine rispetto alla base canonica mediante il prodotto matrice-vettore:
$ [a,b,c]rarr[(a-b+c),2b,-c] $
ed esso è dato da
$ [ ( a-b+c ),( 2b ),( -c ) ] =[ ( a ),( b ),( c ) ] [ ( 1 , -1 , 1 ),( 0 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , -1 ) ] $
quindi la matrice associata è proprio $ [ ( 1 , -1 , 1 ),( 0 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , -1 ) ] $ ?
Esatto!
Il risultato è esatto. Come puoi vedere il tuo procedimento è del tutto equivalente a quello che ti ho proposto
"feddy":
Il risultato è esatto. Come puoi vedere il tuo procedimento è del tutto equivalente a quello che ti ho proposto
E se invece l'esercizio mi chiedesse la matrice associata all'endomorfismo scritto in questa forma:
$ f(ax^2 +bx+c)=: (d(ax^2+bx+c))/dx $
L'operatore $ d/dx $ come modifica la mia matrice? Vado a calcolarne semplicemente la derivata ?
Il procidimento da seguire sarebbe lo stesso ? Purtroppo ho difficoltà nell'interpretare i diversi modi di scritture delle applicazioni lineari ...
certo, intende la derivata. E' analogo alla scrittura $f(p(x))=p'(x)$
"feddy":
certo, intende la derivata. E' analogo alla scrittura $f(p(x))=p'(x)$
Quindi essendo la derivata : $ 2ax+b $
Il vettore rispetto alla base canonica è $ (0,2ax,b) $
Quindi la matrice sarebbe $ [ ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 2 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ) ] $
La tua matrice non è corretta. Lo si vede ad occhio. L'operazione di derivazione in ti restituisce sempre un polinomio, ma che dimensione ha il relativo spazio dei polinomi ? E' ancora $RR_2[X]$?
"feddy":
La tua matrice non è corretta. Lo si vede ad occhio. L'operazione di derivazione in ti restituisce sempre un polinomio, ma che dimensione ha il relativo spazio dei polinomi ? E' ancora $RR_2[X]$?
Derivando ottengo un polinomio di grado 1
Quindi la mia funzione $ f $ dovrebbe diventare $ ax^2+(b-2a)x +b-c $
Poi ricavo la matrice ...
Perché se la dimensione dello spazio dovesse essere 2 otterrei una matrice 2x2 il che mi sembra strano dato che questi esercizi sono incentrati su matrici 3x3
No. La tua applicazione è fatta così $Df:RR_2[X] rightarrow RR[X]$, $Df(p(x))=p'(x)$.
E' evidente che non potrà darti una matrice $2x2$, dal momento che se tu hai un'applicazione lineare che va da $RR^n$ a $RR^m$, la sua matrice rappresentativa è di taglia $mxn$.
Nel tuo caso, la tua matrice sarà una $2x3$. Riesci a concluedere ora?
E' evidente che non potrà darti una matrice $2x2$, dal momento che se tu hai un'applicazione lineare che va da $RR^n$ a $RR^m$, la sua matrice rappresentativa è di taglia $mxn$.
Nel tuo caso, la tua matrice sarà una $2x3$. Riesci a concluedere ora?
"feddy":
No. La tua applicazione è fatta così $Df:RR_2[X] rightarrow RR[X]$, $Df(p(x))=p'(x)$.
E' evidente che non potrà darti una matrice $2x2$, dal momento che se tu hai un'applicazione lineare che va da $RR^n$ a $RR^m$, la sua matrice rappresentativa è di taglia $mxn$.
Nel tuo caso, la tua matrice sarà una $2x3$. Riesci a concluedere ora?
Allora deve esserci un problema nel testo dell'esercizio (TEMA D'ESAME DI GEOMETRIA), infatti il testo dice:
Si consideri l'ENDOMORFISMO $ f:R_2[x]rarr R_2[x] $ definito da:
$ f(ax^2+bx+c):=(d(ax^2+bx+c))/dx $
a) si calcoli la matrice associata ad $ f $ rispetto alla base canonica
b)si calcolino gli autovalori di $ f $
c) si dica se $ f $ ammette una base di $ R_2[x] $ fatta di autovettori di $ f $
Questo contraddice ciò che dici tu .... non capisco
Se derivo rispetto alla $x$ un polinomio di secondo grado trovo un polinomio di grado al massimo $1$. Qui non ci piove.
Lavorando in coordinate, e sapendo che $R^(n+1) \cong R^n$, allora $f: R^3 rightarrow RR^2$. La matrice associata, come detto prima è una $3$per$2$.
Scrivere in maiuscolo equivale a gridare. Capisco dov'è il problema, non sono cieco
Lavorando in coordinate, e sapendo che $R^(n+1) \cong R^n$, allora $f: R^3 rightarrow RR^2$. La matrice associata, come detto prima è una $3$per$2$.
Scrivere in maiuscolo equivale a gridare. Capisco dov'è il problema, non sono cieco
"feddy":
Se derivo rispetto alla $x$ un polinomio di secondo grado trovo un polinomio di grado al massimo $1$. Qui non ci piove.
Lavorando in coordinate, e sapendo che $R^(n+1) \cong R^n$, allora $f: R^3 rightarrow RR^2$. La matrice associata, come detto prima è una $3$per$2$.
Scrivere in maiuscolo equivale a gridare. Capisco dov'è il problema, non sono cieco
Si scusami, quindi pensi che il testo sia errato ? Se come dici tu la matrice è una 3x2 non posso andare a calcolare gli autovalori ...
Ma va, tranquillo!
Chiaramente anche secondo me non può essere una $3$x$2$, dal momento che ti chiede gli autovalori.
L'unica possibilità, o interpretazione, è considerare proprio $RR^2[X]$ come spazio di arrivo. In effetti, lo spazio dei polinomi di grado al massimo $1$ "sta dentro" (passami l'espressione per rendere l'idea) lo spazio dei polinomi di grado $2$.
Quindi ha senso dire che lo spazio di arrivo sia quello. A meno che, con quella scrittura non si intenda altro, ma non mi pare il caso.
Chiaramente anche secondo me non può essere una $3$x$2$, dal momento che ti chiede gli autovalori.
L'unica possibilità, o interpretazione, è considerare proprio $RR^2[X]$ come spazio di arrivo. In effetti, lo spazio dei polinomi di grado al massimo $1$ "sta dentro" (passami l'espressione per rendere l'idea) lo spazio dei polinomi di grado $2$.
Quindi ha senso dire che lo spazio di arrivo sia quello. A meno che, con quella scrittura non si intenda altro, ma non mi pare il caso.
"feddy":
Ma va, tranquillo!
Chiaramente anche secondo me non può essere una $3$x$2$, dal momento che ti chiede gli autovalori.
L'unica possibilità, o interpretazione, è considerare proprio $RR^2[X]$ come spazio di arrivo. In effetti, lo spazio dei polinomi di grado al massimo $1$ "sta dentro" (passami l'espressione per rendere l'idea) lo spazio dei polinomi di grado $2$.
Quindi ha senso dire che lo spazio di arrivo sia quello. A meno che, con quella scrittura non si intenda altro, ma non mi pare il caso.
Anche a me sembrava strano, nel caso in cui l'interpretazione sia questa avrei la matrice 3x3 e potrei calcolare gli autovalori ... però l'ambiguo non è accettato in matematica
"riccardoanza":
però l'ambiguo non è accettato in matematica
Sì in questo caso la matrice viene $3$x$3$ e problemi non ce ne sono. Comunque cercando in rete si trova spesso che questa derivata formale ha gli spazi di arrivo e di partenza coincidenti. Quindi a quanto pare va bene così.
"riccardoanza":
[quote="feddy"]certo, intende la derivata. E' analogo alla scrittura $f(p(x))=p'(x)$
Quindi essendo la derivata : $ 2ax+b $
Il vettore rispetto alla base canonica è $ (0,2ax,b) $
Quindi la matrice sarebbe $ [ ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 2 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ) ] $[/quote]
In pratica avrei questa matrice se non erro
Cercherò di essere chiaro.
Abbiamo questa applicazione $Df:RR_2[X] ->RR_2[X]$.
Sappiamo che, tramite una certa applicazione $varphi$, $RR_2[X] \cong RR^3$.
$varphi:RR_2[X]->RR^3$
$varphi(ax^2+bx+c)=[a,b,c]^T$. Se c'hai voglia dimostra che questa applicazione è iniettiva e suriettiva e quindi questi due spazi vettoriali sono isomorfi.
Appellandoci a questo isomorfismo, vedi che la base canonica dei polinomi ${x^2,x,1}$ viene mandata nella base di $RR^3$ ${e_1,e_2,e_3}$.Ossia, $varphi(x^2)=[1,0,0]^T$,$varphi(x)=[0,1,0]^T$, $varphi(1)=[0,0,1]^T$.
Bene, lavoriamo dunque in coordinate e non in polinomi.
La nostra applicazione $Df:RR^3->RR^3$, è tale che $Df([a,b,c]^T)=[2a,b,0]$.
Applichiamo $Df$ ai vettori della base canonica $e_1,e_2.e_3$. Otteniamo che la matrice è $ A=[ ( 2,0,0 ),(0,1,0 ),( 0,0,0) ] $
Abbiamo questa applicazione $Df:RR_2[X] ->RR_2[X]$.
Sappiamo che, tramite una certa applicazione $varphi$, $RR_2[X] \cong RR^3$.
$varphi:RR_2[X]->RR^3$
$varphi(ax^2+bx+c)=[a,b,c]^T$. Se c'hai voglia dimostra che questa applicazione è iniettiva e suriettiva e quindi questi due spazi vettoriali sono isomorfi.
Appellandoci a questo isomorfismo, vedi che la base canonica dei polinomi ${x^2,x,1}$ viene mandata nella base di $RR^3$ ${e_1,e_2,e_3}$.Ossia, $varphi(x^2)=[1,0,0]^T$,$varphi(x)=[0,1,0]^T$, $varphi(1)=[0,0,1]^T$.
Bene, lavoriamo dunque in coordinate e non in polinomi.
La nostra applicazione $Df:RR^3->RR^3$, è tale che $Df([a,b,c]^T)=[2a,b,0]$.
Applichiamo $Df$ ai vettori della base canonica $e_1,e_2.e_3$. Otteniamo che la matrice è $ A=[ ( 2,0,0 ),(0,1,0 ),( 0,0,0) ] $
"feddy":
Cercherò di essere chiaro.
Abbiamo questa applicazione $Df:RR_2[X] ->RR_2[X]$.
Sappiamo che, tramite una certa applicazione $varphi$, $RR_2[X] \cong RR^3$.
$varphi:RR_2[X]->RR^3$
$varphi(ax^2+bx+c)=[a,b,c]^T$. Se c'hai voglia dimostra che questa applicazione è iniettiva e suriettiva e quindi questi due spazi vettoriali sono isomorfi.
Appellandoci a questo isomorfismo, vedi che la base canonica dei polinomi ${x^2,x,1}$ viene mandata nella base di $RR^3$ ${e_1,e_2,e_3}$.Ossia, $varphi(x^2)=[1,0,0]^T$,$varphi(x)=[0,1,0]^T$, $varphi(1)=[0,0,1]^T$.
Bene, lavoriamo dunque in coordinate e non in polinomi.
La nostra applicazione $Df:RR^3->RR^3$, è tale che $Df([a,b,c]^T)=[2a,b,0]$.
Applichiamo $Df$ ai vettori della base canonica $e_1,e_2.e_3$. Otteniamo che la matrice è $ A=[ ( 2,0,0 ),(0,1,0 ),( 0,0,0) ] $
Quindi,in pratica, scrivendo in maniera equivalente
$ f(ax^2+bx+c):=2ax+b $
otteniamo, rispetto la base canonica la matrice $ A=[ ( 2 , 0, 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ] $
Ma se considero l'endomorfismo tale che: $ f(ax^2+bx+c):=2ax^2+bx $
la matrice associata rispetto la base canonica deve restituire il vettore generico $ (2a,b,0) $
mediante il prodotto matrice-vettore
$ [ ( 2a ),( b ),( 0 ) ] =[ ( a ),( b ),( c ) ] [ ( 2 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ] $
ma le immagini sono diverse ...
"riccardoanza":
Ma se considero l'endomorfismo tale che: f(ax2+bx+c):=2ax2+bx
Ma la $f$ che hai scritto non è la stessa che ho io. Non hai derivato correttamente. Suppongo sia un errore di battitura.
"riccardoanza":
la matrice associata rispetto la base canonica deve restituire il vettore generico (2a,b,0)
mediante il prodotto matrice-vettore$ [ ( 2a ),( b ),( 0 ) ] =[ ( a ),( b ),( c ) ] [ ( 2 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ] $
ma le immagini sono diverse ...
Come vedi hai trovato la stessa matrice che ho trovato io... Non capisco dove sia il problema.
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