Matrice Associata a un applicazione lineare rispetto a una base B1 di partenza e B2 di arrivo
Ciao a tutti, sono un studentessa di Fisica al primo anno e mi sto preparando per lo scritto di Geometria.
Mi sono imbattutta in questo esercizio e non riesco proprio a capire come fare
In [tex]$R^4$[/tex] si consideri il sottospazio [tex]$U=\{(x,y,z,t) \in R^4 : y=z\}$[/tex] e sia [tex]$f: R^4 \to R^4$[/tex] l'unica applicazione lineare tale che:
[tex]$f\mid _U =0$[/tex]
[tex]$f(0,1,-1,0)=(1,1,1,1)$[/tex]
a) Si scelgano due basi B1 e B2 di R4 e si scriva la matrice A associata a f rispetto a B1, presa come base di partenza, e a B2, presa come base di arrivo.
b) Si determini [tex]$f(x,y,z,t)$[/tex]
So che il sottospazio U è l'insieme delle soluzioni del sistema omogeneo $y-z=0$ e che la sua matrice associata è quindi $(0,1,-1,0)$ ma poi non ho proprio idea di come svolgerlo.
Mi potete aiutare?
Mi sono imbattutta in questo esercizio e non riesco proprio a capire come fare
In [tex]$R^4$[/tex] si consideri il sottospazio [tex]$U=\{(x,y,z,t) \in R^4 : y=z\}$[/tex] e sia [tex]$f: R^4 \to R^4$[/tex] l'unica applicazione lineare tale che:
[tex]$f\mid _U =0$[/tex]
[tex]$f(0,1,-1,0)=(1,1,1,1)$[/tex]
a) Si scelgano due basi B1 e B2 di R4 e si scriva la matrice A associata a f rispetto a B1, presa come base di partenza, e a B2, presa come base di arrivo.
b) Si determini [tex]$f(x,y,z,t)$[/tex]
So che il sottospazio U è l'insieme delle soluzioni del sistema omogeneo $y-z=0$ e che la sua matrice associata è quindi $(0,1,-1,0)$ ma poi non ho proprio idea di come svolgerlo.
Mi potete aiutare?
Risposte
"heidi.14":
In [tex]$R^4$[/tex] si consideri il sottospazio [tex]$U=\{(x,y,z,t) \in R^4 : y=z\}$[/tex] e sia [tex]$f: R^4 \to R^4$[/tex]
So che il sottospazio U è l'insieme delle soluzioni del sistema omogeneo $y-z=0$ e che la sua matrice associata è quindi $(0,1,-1,0)$ ma poi non ho proprio idea di come svolgerlo.
ATTENZIONE alla terminologia.. facendo $y=z$ e successivamente hai trovato $ \ul(v)=\text{Span}\{((0),(1),(-1),(0))\} $
ma hai trovato un vettore.. anzi hai trovato uno spazio generato..uno span!..che hai pure sbagliato perché $y=z$
qui $y=1$ e $z=-1$
..c'è qualcosa che non va..
NON è una matrice quella che hai trovato.. il testo ti dice che che devi trovare una base.. un vettore ce l'hai già.. sei in $RR^4$ ti mancano 3 vettori..
prendi i vettori della base canonica!.. vedi il teorema di completamento di una base..
"21zuclo":
ATTENZIONE alla terminologia.. facendo $y=z$ e successivamente hai trovato $ \ul(v)=\text{Span}\{((0),(1),(-1),(0))\} $
ma hai trovato un vettore.. anzi hai trovato uno spazio generato..uno span!..che hai pure sbagliato perché $y=z$
qui $y=1$ e $z=-1$.
Si, ho capito quello che dici, o almeno penso, ma non riesco ancora a capire l'esercizio.
dal sottospazio U ottengo
$ ( (x), (y), (z), (t) )=alpha ( (1), (0), (0), (0) ) + beta( (0), (1), (1), (0) )+ gamma( (0), (0), (0), (1) ) $
in quanto
$ { ( x=alpha ),( y=beta ),( z=beta ),( t=gamma ):} $
di conseguenza trovo la base del sottospazio U come
$ B_U={( (1), (0), (0), (0) ),( (0), (1), (1), (0) ),( (0), (0), (0), (1) ) } $
e aggiungendo il vettore che descrive U dovrei trovare una base di $R^4$ , che potrei anche considerare come prima base (??)
$ B_1={( (1), (0), (0), (0) ),( (0), (1), (1), (0) ),( (0), (0), (0), (1) ),( (0), (1), (-1), (0) ) } $
ma adesso non so proprio come ragionare
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