Matrice associata a $T:M_(2,2)(RR) -> RR_2[t]$

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Salve, vi chiedo una mano su un esercizio apparentemente semplice ma che non riesco a cominciare...
Sia $T : M_(2,2)(RR) -> RR_2[t]$ l’applicazione lineare definita da
$T ((x, y), (z, w)) = (x + 3y)t^2 + (x + y + z)t + (y -3z + w)$
Scrivi la matrice che rappresenta T rispetto a due basi di tua scelta.

Ho pensato di rappresentare il polinomio come un vettore ${(x+3y), (x+y+z), (y-3z+w)}$
E costruire la matrice associata come semplice prodotto tra tale vettore e la matrice generica
$((x+3y), (x+y+z), (y-3z+w)) ((x, y), (z, w))$ da cui ottengo $((1, 3, 0, 0), (1, 1, 1, 0), (0, 1, -3, 1))$
Però oltre a non sapere se sia corretto questo procedimento, sarebbe in ogni caso una sola rappresentazione...
Non sono riuscito a trovare altri esempi simili nel forum, potreste aiutarmi?

[anonymous_0b37e9]

Conviene procedere rispetto alle due basi naturali. Quindi, poichè:

$T((1,0),(0,0))=t^2+t$

$T((0,1),(0,0))=3t^2+t+1$

$T((0,0),(1,0))=t-3$

$T((0,0),(0,1))=1$

si ha:

$M=((0,1,-3,1),(1,1,1,0),(1,3,0,0))$

In definitiva, avendo presumibilmente adottato un ordinamento diverso della base di arrivo, il tuo risultato è corretto.

[CarfRip]

Grazie mille