Mappa di Gauss e suo differenziale - Un paio di dubbi

[Sk_Anonymous]

Sarà banale, ma non riesco a capire una cosa: per esempio su Curve e Superfici di Abate, Tovena viene definito un campo di vettori normali su una superficie \(S \subset \mathbb{R}^3\) come un'applicazione \(N: S \to \mathbb{R}^3\) di classe \(\mathcal{C}^\infty\) tale che \(N(p)\) sia ortogonale a \(T_p S\) per ogni \(p \in S\). Idem sul Do Carmo.
Più tardi, nella definizione della mappa di Gauss, si passa silenziosamente da \(\mathbb{R}^3\) alla sfera \(\mathbb{S}^2\) come codominio... Perché?

Ringrazio.

[Paolo902]

Un po' informalmente, la mappa di Gauss è la mappa che associa ad ogni punto di una superficie (orientabile) $S$ il versore normale al tangente in quel punto. Quindi, il codominio è l'insieme dei versori di $RR^3$, cioè $\mathbb S^2$. Ti chiederai perché serva "restringere il codominio". La spiegazione è semplice: vogliamo che il differenziale della mappa di Gauss sia un endomorfismo di $T_pS$. Definendo $n: M \to \mathbb S^2$, il suo differenziale in $p$ è $dn_p: T_pM \to T_{n(p)}\mathbb S^2$: ma $T_{n(p)}\mathbb S^2$ è ortogonale a $n(p)$ (il piano tangente a una sfera è perpendicolare al raggio) e quindi coincide con $T_p S$ (che è l'unico piano vettoriale perpendicolare a $n(p)$).

In particolare, siamo felici perché $dn_p: T_pS \to T_pS$ e quindi possiamo tirare fuori tutto l'armamentario dell'algebra lineare: possiamo chiederci se tale endomorfismo è autoaggiunto, chi sono gli autovalori, gli autovettori e via discorrendo.

Un po' più chiaro?

[Sk_Anonymous]

"Paolo90":[...] Quindi, il codominio è l'insieme dei versori di $RR^3$, cioè $\mathbb S^2$. [...]

Ecco, in effetti questi cosa mi sfuggiva.

In seguito avrei domandato perché \(T_p M\) e \(T_{n(p)} \mathbb{S}^2\) sono paralleli, ma mi hai risolto anche quest'altra perplessità (in effetti piuttosto stupida, ma dipendente in qualche modo dall'incomprensione sul codominio)!

Ti ringrazio!

[Paolo902]

Figurati, per così poco. E' sempre un piacere.