Maledetta fisica...
Ciao ragazzi 
Il mio libro mi dice questo: preso un'asse $z$ parallelo e discorde alla forza costante $\mathbf{F}$, il lavoro $W$ della forza lungo un percorso $\gamma$ di estremi $A$ e $B$, le cui coordinate sull'asse $z$ sono rispettivamente $z_A$ e $z_B$, è dato da
\[W=\int_\gamma\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=-(Fz_B-Fz_A)\qquad\qquad(\ast)\]
dove $F$ indica il modulo della forza. Il mio problema è che non riesco a capire da dove diamine esce fuori sta cosa. Ho provato a fare questo:
\[\int_\gamma\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\mathbf{F}\cdot \int^{\mathbf{r}_B}_{\mathbf{r}_A} d\mathbf{r}=\mathbf{F}\cdot(\mathbf{r}_B-\mathbf{r}_A)\]
e qui mi fermo. Nel caso della forza peso, una volta arrivato qui, mi è facile confermare la (*), in quanto la forza ha un'unica componente diversa da zero:
\[\mathbf{P}=(0,0,-mg)\]
(la presenza del segno $-$ è dovuta al fatto che abbiamo scelto l'asse $z$ discorde alla forza, come nel caso precedente). Per cui facendo il prodotto scalare con $\mathbf{r}_{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A)$ ritrovo la (*).
Come provo che la (*) è vera in generale???
Grazie
Il mio libro mi dice questo: preso un'asse $z$ parallelo e discorde alla forza costante $\mathbf{F}$, il lavoro $W$ della forza lungo un percorso $\gamma$ di estremi $A$ e $B$, le cui coordinate sull'asse $z$ sono rispettivamente $z_A$ e $z_B$, è dato da
\[W=\int_\gamma\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=-(Fz_B-Fz_A)\qquad\qquad(\ast)\]
dove $F$ indica il modulo della forza. Il mio problema è che non riesco a capire da dove diamine esce fuori sta cosa. Ho provato a fare questo:
\[\int_\gamma\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\mathbf{F}\cdot \int^{\mathbf{r}_B}_{\mathbf{r}_A} d\mathbf{r}=\mathbf{F}\cdot(\mathbf{r}_B-\mathbf{r}_A)\]
e qui mi fermo. Nel caso della forza peso, una volta arrivato qui, mi è facile confermare la (*), in quanto la forza ha un'unica componente diversa da zero:
\[\mathbf{P}=(0,0,-mg)\]
(la presenza del segno $-$ è dovuta al fatto che abbiamo scelto l'asse $z$ discorde alla forza, come nel caso precedente). Per cui facendo il prodotto scalare con $\mathbf{r}_{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A)$ ritrovo la (*).
Come provo che la (*) è vera in generale???
Grazie
Risposte
(Che significa "asse parallelo e discorde?" Io assumo che ci sia scritto solo "asse parallelo".)
La (*) non è altro che la \(\mathbf{F}\cdot (\mathbf{r}_B-\mathbf{r}_A)\). Basta scrivere \(\mathbf{F}=F\hat{z}\) (\(\hat{z}\)=versore dell'asse delle z) e \(\mathbf{r}_B=x_B\hat{x}+y_B\hat{y}+z_B\hat{z}\). Quindi fare il conto.
Comunque sposto in Geometria.
La (*) non è altro che la \(\mathbf{F}\cdot (\mathbf{r}_B-\mathbf{r}_A)\). Basta scrivere \(\mathbf{F}=F\hat{z}\) (\(\hat{z}\)=versore dell'asse delle z) e \(\mathbf{r}_B=x_B\hat{x}+y_B\hat{y}+z_B\hat{z}\). Quindi fare il conto.
Comunque sposto in Geometria.
Grazie dissonance,
ero indeciso se postare in Analisi o in Geometria.
Quanto all'asse. Ecchenneso io cosi sta scritto sul libro! A quanto ho capito questa ipotesi è utile quando bisogna formulare il teorema della conservazione dell'energia meccanica...
Per quanto riguarda la (*) invece, avevo pensato anche io di fare sta cosa qua, ma poi ho pensato che la forza potesse avere delle componenti non nulle lungo gli altri assi...sbaglio?
Grazie ancora
EDIT: bugia...sono un ritardato
l'asse $z$ viene preso parallelo alla forza, e dal momento che questa è costante, ha componenti non nulle solo lungo $z$ (o, in breve, $\mathbf{F}$ è diretta lungo $z$).
ero indeciso se postare in Analisi o in Geometria.
Quanto all'asse. Ecchenneso io
cosi sta scritto sul libro! A quanto ho capito questa ipotesi è utile quando bisogna formulare il teorema della conservazione dell'energia meccanica...Per quanto riguarda la (*) invece, avevo pensato anche io di fare sta cosa qua, ma poi ho pensato che la forza potesse avere delle componenti non nulle lungo gli altri assi...sbaglio?
Grazie ancora
EDIT: bugia...sono un ritardato
l'asse $z$ viene preso parallelo alla forza, e dal momento che questa è costante, ha componenti non nulle solo lungo $z$ (o, in breve, $\mathbf{F}$ è diretta lungo $z$).
"Plepp":E si. Vai avanti che quando avrai finito sarà tutto molto più chiaro. Questo teorema va afferrato, spesso sui libri si sforzano di fartelo capire ma finiscono per fare solo confusione. Adesso ti sta solo dicendo che un campo di forze costante è conservativo. Il che mi pare ovvio sia dal punto di vista matematico (se \(\mathbf{F}\) è costante allora \(-\nabla (-\mathbf{F}\cdot \mathbf{r})=\mathbf{F}\)) sia dal punto di vista fisico (la forza peso forma un campo costante, in prossimità della superficie terrestre, ed è proprio il primo esempio di forza conservativa che ci può venire in mente. A meno di cambiare sistema di coordinate e unità di misura, tutti i campi di forze costanti si possono ricondurre alla forza peso).
Grazie dissonance,
ero indeciso se postare in Analisi o in Geometria.
Quanto all'asse. Ecchenneso io
Per quanto riguarda la (*) invece, avevo pensato anche io di fare sta cosa qua, ma poi ho pensato che la forza potesse avere delle componenti non nulle lungo gli altri assi...sbaglio?
Grazie ancora
EDIT: bugia...sono un ritardato
Credo che asse "parallelo e discorde alla forza" voglia semplicemente dire che i due enti hanno verso opposto, cioè il campo di forze è ovunque pari a $(0,0, -F)$.
Se prendiamo $\vec r=(x, y, z)$ e deriviamo, abbiamo $\vec dr=(dx, dy, dz)$.
Poi si fa il prodotto scalare con la forza, e rimane $(0,0, -Fdz)$, che integrato lungo una curva fa $-F(z_b-z_a)$.
Direi che è tutto qui.
Se prendiamo $\vec r=(x, y, z)$ e deriviamo, abbiamo $\vec dr=(dx, dy, dz)$.
Poi si fa il prodotto scalare con la forza, e rimane $(0,0, -Fdz)$, che integrato lungo una curva fa $-F(z_b-z_a)$.
Direi che è tutto qui.
Grazie ad entrambi 
Riesumo il thread
Ho pensato che quanto detto ($W=-(Fz_B-Fz_A)$) è facile da dimostrare se la direzione di $\mathbf{F}$ coincide con quella di uno dei tre assi ortogonali, in modo tale da poter scrivere, ad esempio, che
\[\mathbf{F}=(0,0,-F)\]
In tal caso procedo come giustamente dice Quinzio.
Come faccio nel caso che $\mathbf{F}$ abbia la direzione di un generico versore $\hat{u}$? Magari è una stronzata epica ma nn mi viene in mente...
Grazie
Ho pensato che quanto detto ($W=-(Fz_B-Fz_A)$) è facile da dimostrare se la direzione di $\mathbf{F}$ coincide con quella di uno dei tre assi ortogonali, in modo tale da poter scrivere, ad esempio, che
\[\mathbf{F}=(0,0,-F)\]
In tal caso procedo come giustamente dice Quinzio.
Come faccio nel caso che $\mathbf{F}$ abbia la direzione di un generico versore $\hat{u}$? Magari è una stronzata epica ma nn mi viene in mente...
Grazie
l'importante è che sia chiara la tua (*)! l'asse è poco importante, potendo scegliere arbitrariamente come orientare il sistema di riferimento.
ps: non farti molti problemi sul come dimostrare oltre, si tratta di un caso particolare di forza conservativa, che è una condizione molto forte e 'ricca' di per sé: http://it.wikipedia.org/wiki/Forza_conservativa
ciao!
ps: non farti molti problemi sul come dimostrare oltre, si tratta di un caso particolare di forza conservativa, che è una condizione molto forte e 'ricca' di per sé: http://it.wikipedia.org/wiki/Forza_conservativa
ciao!
Ciao Deppe! Grazie per la tua risposta! Forse non mi sono spiegato bene il mio problema è questo: voglio calcolare il lavoro di una forza costante $\mathbf{F}$, diretta lungo $\hat{u}$ generico, relativo ad uno spostamento $\Delta\mathbf{r}$. Ho dimostrato, anche in altri modi un po piu soddisfacenti , che una forza costante è conservativa; ora cerco una conferma della (*). E' pura curiosità, niente di che
Supponendo che $\hat{u}$ non coincida con nessuno dei versori $i,j,k$, che invece costituiscono, insieme ad un punto $O$, il sistema di riferimento rispetto al quale mi è data $\mathbf{r}(t)$; allora la forza $\mathbf{F}$ avrà componenti non nulle lungo ciascuna direzione, giusto? Come posso ricondurmi dunque, in questa situazione, alla (*)?
Ripeto si tratta di pura curiosità, non è una cosa "vitale" anche perchè se proprio non posso usare la (*), faccio il prodotto scalare
\[\mathbf{F}\cdot(\mathbf{r}_B-\mathbf{r}_A)\]
e chi s'è visto s'è visto
Ciao! e grazie ancora
il mio problema è questo: voglio calcolare il lavoro di una forza costante $\mathbf{F}$, diretta lungo $\hat{u}$ generico, relativo ad uno spostamento $\Delta\mathbf{r}$. Ho dimostrato, anche in altri modi un po piu soddisfacenti , che una forza costante è conservativa; ora cerco una conferma della (*). E' pura curiosità, niente di che Supponendo che $\hat{u}$ non coincida con nessuno dei versori $i,j,k$, che invece costituiscono, insieme ad un punto $O$, il sistema di riferimento rispetto al quale mi è data $\mathbf{r}(t)$; allora la forza $\mathbf{F}$ avrà componenti non nulle lungo ciascuna direzione, giusto? Come posso ricondurmi dunque, in questa situazione, alla (*)?
Ripeto si tratta di pura curiosità, non è una cosa "vitale"
anche perchè se proprio non posso usare la (*), faccio il prodotto scalare \[\mathbf{F}\cdot(\mathbf{r}_B-\mathbf{r}_A)\]
e chi s'è visto s'è visto
Ciao! e grazie ancora
UP
Madò Plepp ti sei andato a impappinare proprio su una strunzata! 
Praticamente il problema è che vogliamo scrivere in un altro modo il prodotto scalare \(\mathbf{F}\cdot(\mathbf{r}_B-\mathbf{r}_A)\), se capisco bene. Vabbè, e allora esplicitiamo il fatto che \(\mathbf{F}=F\hat{u}\), dove \(F\) è uno scalare (la parte scalare della forza, eventualmente potrebbe anche essere negativa). Facciamo lo stesso con \(\mathbf{r}_B\): \(\mathbf{r}_B=x_B\hat{u}+\mathbf{r}_B^\bot\), dove \(\mathbf{r}_B^\bot\) è un vettore ortogonale a \(\hat{u}\). E quindi
\[\mathbf{F}\cdot(\mathbf{r}_B-\mathbf{r}_A)=F(x_B-x_A).\]
Fine.
Praticamente il problema è che vogliamo scrivere in un altro modo il prodotto scalare \(\mathbf{F}\cdot(\mathbf{r}_B-\mathbf{r}_A)\), se capisco bene. Vabbè, e allora esplicitiamo il fatto che \(\mathbf{F}=F\hat{u}\), dove \(F\) è uno scalare (la parte scalare della forza, eventualmente potrebbe anche essere negativa). Facciamo lo stesso con \(\mathbf{r}_B\): \(\mathbf{r}_B=x_B\hat{u}+\mathbf{r}_B^\bot\), dove \(\mathbf{r}_B^\bot\) è un vettore ortogonale a \(\hat{u}\). E quindi \[\mathbf{F}\cdot(\mathbf{r}_B-\mathbf{r}_A)=F(x_B-x_A).\]
Fine.
"dissonance":
\(\mathbf{r}_B=x_B\hat{u}+\mathbf{r}_B^\bot\), dove \(\mathbf{r}_B^\bot\) è un vettore ortogonale a \(\hat{u}\).
Questa mi giunge nuova!!! Aiuto 
sto perdendo colpi...EDIT: riconfermo quanto detto sopra: sono un ritardato
grazie Dissonance
P.S. @Dissonance: ieri ho studiato per bene il teorema di conservazione dell'energia meccanica. A quanto mi è parso di capire è fondamentale l'ipotesi di assumere, nel caso delle forze costanti, l'asse $z$ parallelo e discorde ad $F$, altrimenti non si potrebbe esprimere $\mathbf{F}$ come $-\nabla U$ ($U$=energia potenziale), bensì come $\nabla U$; in tal caso risulterebbe
\[W=\Delta U\]
(W=lavoro) e ciò renderebbe "impiccioso" formulare il suddetto teorema ($M=K+U=\text{costante}$ in presenza di sole forze conservative). Almeno questo mi è parso
\[W=\Delta U\]
(W=lavoro) e ciò renderebbe "impiccioso" formulare il suddetto teorema ($M=K+U=\text{costante}$ in presenza di sole forze conservative). Almeno questo mi è parso
Ma no, che fa. Se l'asse non è discorde basta cambiare il segno ad \(U\), no? Non è che basta cambiare una convenzione, come l'orientazione di un asse, e una forza conservativa all'improvviso diventa non conservativa.
Non ho detto questo Semplicemente, con la convenzione che porta ad esprimere $\mathbf{F}$ come $\nabla U$, e quindi $W$ come $\Delta U$, avrei che, essendo anche $W=\Delta K$,
\[\Delta K=\Delta U\]
e quindi
\[\Delta(K-U)=0\]
Ma dal momento che si è definita l'energia meccanica come $M=K+U$, il precedente risultato sarebbe non molto significativo. Non so se mi sono spiegato bene Comunque anche queste sono semplici sottigliezze, l'argomento mi pare di averlo afferrato Come dici tu, preso l'asse parallelo e basta, è sufficiente cambiare di segno $U$, ossia definirla in maniera diversa, ma forse un po più "matematica"...diciamo che forse l'ipotesi dell'asse discorde dà un senso più fisico alla definizione.
Boh...cosi mi pare di capire...magari ho detto un mucchio di baggianate
Semplicemente, con la convenzione che porta ad esprimere $\mathbf{F}$ come $\nabla U$, e quindi $W$ come $\Delta U$, avrei che, essendo anche $W=\Delta K$,\[\Delta K=\Delta U\]
e quindi
\[\Delta(K-U)=0\]
Ma dal momento che si è definita l'energia meccanica come $M=K+U$, il precedente risultato sarebbe non molto significativo. Non so se mi sono spiegato bene
Comunque anche queste sono semplici sottigliezze, l'argomento mi pare di averlo afferrato Come dici tu, preso l'asse parallelo e basta, è sufficiente cambiare di segno $U$, ossia definirla in maniera diversa, ma forse un po più "matematica"...diciamo che forse l'ipotesi dell'asse discorde dà un senso più fisico alla definizione. Boh...cosi mi pare di capire...magari ho detto un mucchio di baggianate
l'ipotesi dell'asse discorde dà un senso più fisico alla definizione.Si, sono d'accordo. Con questa ipotesi fai un parallelo con la forza peso, questo è tutto.
ehi plepp! mi dispiace essere arrivato in ritardo ma dissonance ha già spiegato tutto alla perfezione, se la forza ha una direzione arbitaria, proietta $r_b$ e $r_a$ sulla direzione (prodotto scalare.. ) in questione e valuta la distanza. Se poi vuoi far quadrare il teorema di conservazione, definisci diversamente il potenziale, cambia il verso dell'asse, poniti in un sistema di riferimento più comodo.. Suonerà male, ma se la questione ti è chiara, fatti tornare i conti : - ).
un consiglio da amico, in fisica la forma è spesso brutta (a volte inevitabilmente, e questo proprio per mantenere in una forma significativa, elegante o immediata i risultati finali)! evita di questi problemi, le forze conservative e tanti altri argomenti hanno tante cose più profonde ed interessanti da dire !
ciao!!
) in questione e valuta la distanza. Se poi vuoi far quadrare il teorema di conservazione, definisci diversamente il potenziale, cambia il verso dell'asse, poniti in un sistema di riferimento più comodo.. Suonerà male, ma se la questione ti è chiara, fatti tornare i conti : - ).un consiglio da amico, in fisica la forma è spesso brutta (a volte inevitabilmente, e questo proprio per mantenere in una forma significativa, elegante o immediata i risultati finali)! evita di questi problemi, le forze conservative e tanti altri argomenti hanno tante cose più profonde ed interessanti da dire
!ciao!!
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