$M_n(RR)$ antisi, autovalori non nulli sono immaginari puri.

[Kashaman]

Salve ragazzi , ho da dimostrare la seguente proposizione :

Sia $A \in M_n(RR)$ tale che $A^T=-A$. Allora gli zeri del polinomio caratteristico di $A$ non nulli sono immaginari puri.

Ho dimostrato così :

Sia $A$ una matrice quadrata di ordine n reale.
Si ha che $P:=P_A(\lambda) = | A-\lambda I_n|$ . Pensiamo $P$ come polinomio a coefficienti in $\mathbb{C}$
Sia ora $\lambda_0$ radice non nulla ti $P$ tale che $EE x_0 \in C^n$ tale che
$Ax_0 = \lambda_0x_0$.
Posso considerare i complessi coniugati : \overline[Ax_0]$= \dot{A}\dot{x_0}=A\dot{x_0}$ , $A$ è reale quindi coincide con il suo coniugato.
Considero lo scalare $\dot(x_0)^TAx_0$
Si ha da una parte che, effettuando semplici passaggi algebrici ,
$\dot(x_0)^TAx_0 = -\dot(\lambda_0) \dot(x_0)^Tx_0$ (1)
dall'altra
$\dot(x_0)^TAx_0 = \lambda_0 \dot(x_0)^Tx_0 $ (2)
Notato che
$ \dot(x_0)^Tx_0 >0$ perché $x!=0$ . si ha che $\lambda_0 = - \dot(\lambda_0) $
Pertanto $\lambda_0$ è imagginario puro.

Vi convince? Grazie.

[j18eos]

Io non riesco a leggere bene le formule... comunque il codice LaTeX per la sovralineazione è \overline{}; e.g.:\(\overline{x_0}\).