Luogo dei punti equidistante da due rette date
Ciao a tutti! ho questo esercizio di geometria che non riesco a risolvere, e soprattutto, non ho idea su come procedere.
Trovare l'equazione del luogo dei punti $P(x,y,z)$ equidistanti dalle rette $r$ e $s$.
$r:{y=0;2z-1=0}$
$s:{x=0;2z+1=0}$
Trovare l'equazione del luogo dei punti $P(x,y,z)$ equidistanti dalle rette $r$ e $s$.
$r:{y=0;2z-1=0}$
$s:{x=0;2z+1=0}$
Risposte
Prego. 
@anonymous_0b37e9
Così si ottiene un paraboloide parabolico. Mancherebbe da dimostrare che $z=0$
Il problema del ragazzo è che resta immobile. E' rimasto con la mentalità da studente delle superiori, per cui se non ha una "formula" non si schioda e non prova nulla e continua a chiedere "è giusto così".
Ma ha scelto matematica, deve togliersi questa insicurezza e sporcarsi le mani.
In realtà il problema era molto più semplice, perchè chiedeva solo di trovare il luogo dei punti per cui la distanza di tutti i punti di una retta $r$ e tutti i punti di una retta $s$ fossero equidistanti.
Quindi deve essere un luogo per cui le distanze rette/luogo fosse identica: ovvero il piano comune di riflessione $z=0$
Quindi per risolverlo in modo formale, ogni retta deve potersi riflettere su un piano che abbia che abbia la seguente caratteristica: deve contenere i punti perpendicolari ad entrambe le direzioni, ovvero (0,0,1), ovvero deve essere del tipo $z=d$. Infine la distanze rette piano devono essere identiche, da cui si ricava $d=0$
Dato che il problema in se era di una banalità estrema ma offriva una possibilità interpretativa per complicarlo, l'ho fatto
Il punto è che Aletzunny deve approfittare di questi semplici problemi per (a) dimostrare di capire cosa gli si chieda (b) complicarli per mettersi alla prova.
A me sta molto simpatico Aletzunny. Oramai il forum lo segue da quando era al liceo e si è sempre impegnato molto...ma deve cambiare mentalità!
Così si ottiene un paraboloide parabolico. Mancherebbe da dimostrare che $z=0$
Il problema del ragazzo è che resta immobile. E' rimasto con la mentalità da studente delle superiori, per cui se non ha una "formula" non si schioda e non prova nulla e continua a chiedere "è giusto così".
Ma ha scelto matematica, deve togliersi questa insicurezza e sporcarsi le mani.
In realtà il problema era molto più semplice, perchè chiedeva solo di trovare il luogo dei punti per cui la distanza di tutti i punti di una retta $r$ e tutti i punti di una retta $s$ fossero equidistanti.
Quindi deve essere un luogo per cui le distanze rette/luogo fosse identica: ovvero il piano comune di riflessione $z=0$
Quindi per risolverlo in modo formale, ogni retta deve potersi riflettere su un piano che abbia che abbia la seguente caratteristica: deve contenere i punti perpendicolari ad entrambe le direzioni, ovvero (0,0,1), ovvero deve essere del tipo $z=d$. Infine la distanze rette piano devono essere identiche, da cui si ricava $d=0$
Dato che il problema in se era di una banalità estrema ma offriva una possibilità interpretativa per complicarlo, l'ho fatto
Il punto è che Aletzunny deve approfittare di questi semplici problemi per (a) dimostrare di capire cosa gli si chieda (b) complicarli per mettersi alla prova.
A me sta molto simpatico Aletzunny. Oramai il forum lo segue da quando era al liceo e si è sempre impegnato molto...ma deve cambiare mentalità!
"Bokonon":
@anonymous_0b37e9
Così si ottiene un paraboloide parabolico. Mancherebbe da dimostrare che $z=0$
Il problema del ragazzo è che resta immobile. E' rimasto con la mentalità da studente delle superiori, per cui se non ha una "formula" non si schioda e non prova nulla e continua a chiedere "è giusto così".
Ma ha scelto matematica, deve togliersi questa insicurezza e sporcarsi le mani.
In realtà il problema era molto più semplice, perchè chiedeva solo di trovare il luogo dei punti per cui la distanza di tutti i punti di una retta $r$ e tutti i punti di una retta $s$ fossero equidistanti.
Quindi deve essere un luogo per cui le distanze rette/luogo fosse identica: ovvero il piano comune di riflessione $z=0$
Quindi per risolverlo in modo formale, ogni retta deve potersi riflettere su un piano che abbia che abbia la seguente caratteristica: deve contenere i punti perpendicolari ad entrambe le direzioni, ovvero (0,0,1), ovvero deve essere del tipo $z=d$. Infine la distanze rette piano devono essere identiche, da cui si ricava $d=0$
Dato che il problema in se era di una banalità estrema ma offriva una possibilità interpretativa per complicarlo, l'ho fatto
Il punto è che Aletzunny deve approfittare di questi semplici problemi per (a) dimostrare di capire cosa gli si chieda (b) complicarli per mettersi alla prova.
A me sta molto simpatico Aletzunny. Oramai il forum lo segue da quando era al liceo e si è sempre impegnato molto...ma deve cambiare mentalità!
Hai ragione Bokonon! Però davvero ogni volta che cerco di fare un esercizio e non riesco mi viene ansia...e da lì mi puoi anche chiedere di fare $2+2$ che rispondo $5$.
Spero di riuscire a superarla in questo primo anno di università perché preparare gli esami, credimi, diventa una "tortura" psicologica
Ciao Bokonon. Sei sicuro della tua interpretazione? Te lo chiedo perché, leggendo la consegna:
mi è sembrato naturale procedere come sopra.
"Aletzunny":
Trovare l'equazione del luogo dei punti $P(x,y,z)$ equidistanti dalle rette $r$ e $s$.
mi è sembrato naturale procedere come sopra.
@anonymous_0b37e9
Sono abbastanza sicuro, perchè è un problema di algebra lineare da risolvere con gli strumenti dell'algebra lineare. Inoltre, il problema "complessificato" richiederebbe la specifica che il luogo dei punti in oggetto debba avere una specifica relazione biunivoca fra punti (per cui alla fine uno deve dedurre che $|x|=|y|$ ).
Aggiungo anche, che come luogo di punti equidistanti da entrambe le rette, si può tranquillamente affermare che sono gli assi X e Y sarebbe una soluzione "minimale" ma brutta a mio avviso.
Comunque sia, il problema (quello semplice) si può risolvere anche facendo appunto uso di applicazioni lineari.
Fosse stato un problema più complesso, un modo elegante per risolverlo sarebbe stato pensando alla matrice di proiezione. Entrambe le rette devono proiettarsi in un piano comune e quello di riflessione assicura che le distanze proiettive siano identiche. Poichè la matrice di rilfessione è $R=2P-I$ basterebbe imporre che le due matrici di proeizione generiche siano identiche e da la dedurre il piano di riflessione.
Però dai, anch'io quando ho visto il problema ho immediatamente pensato anche alla versione complicata e mi sono innamorato dell'idea.
Sono abbastanza sicuro, perchè è un problema di algebra lineare da risolvere con gli strumenti dell'algebra lineare. Inoltre, il problema "complessificato" richiederebbe la specifica che il luogo dei punti in oggetto debba avere una specifica relazione biunivoca fra punti (per cui alla fine uno deve dedurre che $|x|=|y|$ ).
Aggiungo anche, che come luogo di punti equidistanti da entrambe le rette, si può tranquillamente affermare che sono gli assi X e Y sarebbe una soluzione "minimale" ma brutta a mio avviso.
Comunque sia, il problema (quello semplice) si può risolvere anche facendo appunto uso di applicazioni lineari.
Fosse stato un problema più complesso, un modo elegante per risolverlo sarebbe stato pensando alla matrice di proiezione. Entrambe le rette devono proiettarsi in un piano comune e quello di riflessione assicura che le distanze proiettive siano identiche. Poichè la matrice di rilfessione è $R=2P-I$ basterebbe imporre che le due matrici di proeizione generiche siano identiche e da la dedurre il piano di riflessione.
Però dai, anch'io quando ho visto il problema ho immediatamente pensato anche alla versione complicata e mi sono innamorato dell'idea.
"Aletzunny":
Spero di riuscire a superarla in questo primo anno di università perché preparare gli esami, credimi, diventa una "tortura" psicologica
Devi farlo!
La cosa più divertente della matematica è ricavare le formule dai concetti imparati. Ed è il minimo che uno possa fare se studiasse in una facoltà qualsiasi. A matematica devi anche essere in grado di fare le dimostrazioni da te!
Se non prendi confidenza sia con gli strumenti che di te stesso, allora stai rimandando l'inevitabile IMHO.
Una soluzione alternativa … forse 
… dico forse, in primo luogo perché non è che abbia capito molto delle vostre soluzioni (per la scarsità delle mie conoscenze, sia chiaro, non per la vostra esposizione ) e secondariamente perché non sono sicuro se sia veramente una soluzione
Prendiamo due punti a caso $A, B$ su una retta e due punti a caso $C, D$ sull'altra; intendo dire quattro punti precisi non quattro punti generici.
Allora il piano equidistante da questi quattro punti (e quindi dalle rette) è quello passante per i punti medi di $AD, BD, AC, BC$.
L'idea mi è venuta da un vecchio problema che avevo postato, mi pare in "Scervelliamoci un po'".
IMHO
Cordialmente, Alex
… dico forse, in primo luogo perché non è che abbia capito molto delle vostre soluzioni (per la scarsità delle mie conoscenze, sia chiaro, non per la vostra esposizione ) e secondariamente perché non sono sicuro se sia veramente una soluzione Prendiamo due punti a caso $A, B$ su una retta e due punti a caso $C, D$ sull'altra; intendo dire quattro punti precisi non quattro punti generici.
Allora il piano equidistante da questi quattro punti (e quindi dalle rette) è quello passante per i punti medi di $AD, BD, AC, BC$.
L'idea mi è venuta da un vecchio problema che avevo postato, mi pare in "Scervelliamoci un po'".
IMHO
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Prendiamo due punti a caso $A, B$ su una retta e due punti a caso $C, D$ sull'altra; intendo dire quattro punti precisi non quattro punti generici.
Allora il piano equidistante da questi quattro punti (e quindi dalle rette) è quello passante per i punti medi di $AD, BD, AC, BC$.
Si!
E' la soluzione geometrica (in senso classico) del problema.
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