L'unione di sottospazi e' contenuta nella somma

[davide940]

Siano $U,W$ due sottospazi di uno spazio vettoriale $V$, allora il piu' piccolo sottospazio di $V$ contenente $ U uu W$ e' $ U + W$ cioe':
1)$U+W <= V$
2)$U uu W sub U+W$

Voglio dimostrare 2.

Se esiste un sottospazio $ W_1 <= V$ tale che $U uu W sub W_1$ allora $U + W sub W_1$ (perche' $W_1$ e' un sottospazio), quindi:

Sia $v in U uu W$, sia $v in U$ allora:
$ v = v + 0_v$ quindi $ v in U+W$
Quindi se un vettore appartiene all'unione appartiene anche alla somma.

Ora sia $U uu W sub W_1$ e sia $v in U+W$ allora:
$ v = u + w$ dove $u in U$ e $ w in W$ ma allora
$ u in W_1$ e $ w in W_1$ quindi $ v in W_1$
Quindi la somma e' il piu' piccolo sottospazio che contiene l'unione.
Vorrei sapere se la dimostrazione fatta in questo modo e' corretta.

[Gi81]

Sì, mi sembra tutto corretto