Linearmente indipendenti
buonasera,vi faccio una domanda:come mai i vettori indipendenti di questo insieme[(1,0,-1),(0,1,0,),(1,0,0),(0,1,1)] sono[(0,1,0,),(1,0,0),(0,1,1) ]
Risposte
perchè (1,0,-1)=(0,1,0)+(1,0,0)-(0,1,1)
ciao,quindi posso determinarlo anche cambiando i segni?
non capisco che cosa intendi
cioè per verificare l'indipendenza,vedere se devo aggiungere segni negativi o costanti che moltiplicano gli altri vettori per far si che esca quello dipendente
grazie mille cmq serway2
praticamente devi fare così, i vettori che hai sono vettori di $RR^3$
per avere una base di $RR^3$ devi avere tre vettori linearmente indipendenti, tu ne hai quattro quindi, uno di quei vettori si esprime come combinazione lineare dei rimanenti.
Per verificare la lineare indipendenza in algebra lineare ci sono pressocchè due modi: o formi una matrice con i vettori che ti danno e determini il rango della matrice, oppure utilizzi il metodo degli scarti successivi che consiste in questo: il primo vettore deve essere non nullo, se è nullo lo scarti, poi vedi se il secondo si può scrivere come combinazione lineare del primo, se è così lo scarti, poi il terzo vedi se si può scrivere come combinazione lineare del primo e del secondo, e se è così lo scarti, e così via iteri il procedimento fino a quando non ottieni tutti vettori linearmente indipendenti.
In questo caso utilizzando il metodo degli scarti successivi hai:
il primo vettore (1,0,-1) che è non nullo quindi lo tieni.
Il secondo (0,1,0) non è combinazione lineare del primo perchè se lo fosse si potrebbe scrivere (0,1,0)=a(1,0,-1)=(a,0,-a) cioè sio avrebbe che a=0 e 1=0 che è impossibile quindi i primi due vettori sono linearmente indipendenti.
Il terzo non è combinazione lineare dei primi due perchè (1,0,0)=a(1,0,-1)+b(0,1,0)=(a,b,-a) quindi si avrebbe che a=1 e a=0 che è impossibile.
Il quarto vettore invece risulta essere combinazione lineare del primo secondo e terzo vettore perchè (0,1,1)=-(1,0,-1)+(0,1,0)+(1,0,0).
quindi un sistema di vetori linearmente indipendenti può essere (1,0,-1), (0,1,0),, (1,0,0).
Naturalmente puoi cambiare l'ordine dei vettori, considerando (0,1,0,),(1,0,0),(0,1,1), (1,0,-1). Ci sono tante combinazioni che puoi fare, ma alla fine trovi sempre che solo tre di questi sono linearmente indipendenti perchè la dimensione di $RR^3$ è 3 e quindi non puoi avere 4 vettori linearmente indipendenti.
Un altro modo, forse più usuale, per vedere quali sono linearmente indipipendenti è quello di scrivere la matrice costiruita dai quattro vettori e calcolarne il rango.
Se ad esempio disponi i vettori per rigghe hai una matrice 3x4 e quindi il rango è minore uguale di 3, da qui si capisce subito che il rango non può essere 4 per definizione proprio di rango di una matrice mxn.
In particolare nel tuo caso hai:
$((1,0,-1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1))$
Basta quindi che sai trovare il rango di una matrice per vedere quali tra questi tre vettori sono linearmente indipendenti.
In questo caso di consiglio di usare il metodo di Gauss di riduzione per righe.
per avere una base di $RR^3$ devi avere tre vettori linearmente indipendenti, tu ne hai quattro quindi, uno di quei vettori si esprime come combinazione lineare dei rimanenti.
Per verificare la lineare indipendenza in algebra lineare ci sono pressocchè due modi: o formi una matrice con i vettori che ti danno e determini il rango della matrice, oppure utilizzi il metodo degli scarti successivi che consiste in questo: il primo vettore deve essere non nullo, se è nullo lo scarti, poi vedi se il secondo si può scrivere come combinazione lineare del primo, se è così lo scarti, poi il terzo vedi se si può scrivere come combinazione lineare del primo e del secondo, e se è così lo scarti, e così via iteri il procedimento fino a quando non ottieni tutti vettori linearmente indipendenti.
In questo caso utilizzando il metodo degli scarti successivi hai:
il primo vettore (1,0,-1) che è non nullo quindi lo tieni.
Il secondo (0,1,0) non è combinazione lineare del primo perchè se lo fosse si potrebbe scrivere (0,1,0)=a(1,0,-1)=(a,0,-a) cioè sio avrebbe che a=0 e 1=0 che è impossibile quindi i primi due vettori sono linearmente indipendenti.
Il terzo non è combinazione lineare dei primi due perchè (1,0,0)=a(1,0,-1)+b(0,1,0)=(a,b,-a) quindi si avrebbe che a=1 e a=0 che è impossibile.
Il quarto vettore invece risulta essere combinazione lineare del primo secondo e terzo vettore perchè (0,1,1)=-(1,0,-1)+(0,1,0)+(1,0,0).
quindi un sistema di vetori linearmente indipendenti può essere (1,0,-1), (0,1,0),, (1,0,0).
Naturalmente puoi cambiare l'ordine dei vettori, considerando (0,1,0,),(1,0,0),(0,1,1), (1,0,-1). Ci sono tante combinazioni che puoi fare, ma alla fine trovi sempre che solo tre di questi sono linearmente indipendenti perchè la dimensione di $RR^3$ è 3 e quindi non puoi avere 4 vettori linearmente indipendenti.
Un altro modo, forse più usuale, per vedere quali sono linearmente indipipendenti è quello di scrivere la matrice costiruita dai quattro vettori e calcolarne il rango.
Se ad esempio disponi i vettori per rigghe hai una matrice 3x4 e quindi il rango è minore uguale di 3, da qui si capisce subito che il rango non può essere 4 per definizione proprio di rango di una matrice mxn.
In particolare nel tuo caso hai:
$((1,0,-1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1))$
Basta quindi che sai trovare il rango di una matrice per vedere quali tra questi tre vettori sono linearmente indipendenti.
In questo caso di consiglio di usare il metodo di Gauss di riduzione per righe.
Esaustivo!GRAZIE MILLE
di niente, se hai bisogno di qualche altro chiarimento chiedi pure senza indugi 
gentilissimo
visto che l'argomento è vettori linearmente indipendenti io avrei una domanda. Se ho tre matrici, per determinare se sono linearmente indipendenti basta che io moltiplichi queste per tre coefficienti tipo alfa, beta e gamma e le sommo ponendole poi uguali alla matrice nulla? Oppure come posso fare a vedere se sono o meno linearmente indipendenti?
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