L'endomorfismo "commutatore con A"

[killing_buddha]

Ho fatto la stessa domanda "da un'altra parte", ma mi e' nata leggendo un post proprio qui, ergo torno all'ovile. Vediamo se qui mi sapete rispondere prima!

Come si scrive, nella base canonica [tex]e_{ij}[/tex] che ha 1 al posto [tex](i,j)[/tex] e zero altrove, la matrice dell'applicazione lineare [tex][A,-]\colon M_n(K)\to M_n(K)[/tex], che manda $X$ in [tex]AX-XA[/tex], in termini delle entrate di una matrice [tex]A[/tex]?

[*:2d6igydc] Detto [tex]\varphi_A=[A,-]\colon M_n(K)\to M_n(K)[/tex] l'endomorfismo in questione,[/*:m:2d6igydc]
[*:2d6igydc] e' diagonalizzabile?[/*:m:2d6igydc]
[*:2d6igydc] Quanto e' grande il suo nucleo al variare di [tex]A\in M_n(K)[/tex]? Dipende da [tex]A[/tex], ed ovviamente e' massimo per [tex]A=c\mathbb I[/tex], al variare di [tex]c\in K[/tex]. Per il resto e' vero o falso che e' sempre costante (cosa che sospetto sia falsa: l'euristica sembra suggerirlo, ma probabilmente il programma che ho scritto non e' molto stabile e mi da' una falsa pista)?[/*:m:2d6igydc]
[*:2d6igydc] La matrice [tex]M(\varphi_A)\colon K^{n^2}\to K^{n^2}[/tex] ha sempre traccia nulla (si', non e' una domanda, almeno adesso che abbiamo una forma chiusa per le sue entrate).[/*:m:2d6igydc][/list:u:2d6igydc]

[Sk_Anonymous]

?

[killing_buddha]

Si', esatto. La domanda che hai fatto tu era tipica degli esami di C4ndil3ra, Geometria 1, ma purtroppo non trovo piu' i pdf cogli esami vecchi...

[Sk_Anonymous]

"killing_buddha":Si', esatto. La domanda che hai fatto tu era tipica degli esami di C4ndil3ra, Geometria 1, ma purtroppo non trovo piu' i pdf cogli esami vecchi...

In effetti sì, anche se fino ad ora nei compiti vecchi ho trovato soltanto casi abbastanza particolari (matrici di proiezioni e/o simmetrie) - qui ne abbiamo discusso un po'. I pdf con i testi li trovi nel suo sito, mentre quelli più vecchi sono raccolti su quello di C4il0tt0, anche se sono quasi certo che ci sia poco al riguardo.

[killing_buddha]

La seconda osservazione riguarda invece l'assenza di soluzioni scritte
agli esercizi distribuiti durante il corso. Qui la risposta e` piu` chiara:
non verranno scritte le soluzioni, per una serie di motivi di cui uno, ma
non il principale, e` che ci mancherebbe il tempo.
Una ragione piu` fondamentale e` che, se vi fossero le soluzioni
scritte, molti studenti si limiterebbero a leggerle, credendo di aver capito,
senza in realta` aver acquisito una capacita` autonoma di affrontare il
problema.
Ragione ancora piu` fondamentale e` che non esiste una soluzione agli
esercizi proposti, ma ogni esercizio puo` essere affrontato a vari livelli,
con metodi piu` o meno elevati. Man mano che procede il corso, gli esercizi
svolti in modi ingenui precedentemente possono essere rivisti da un punto
di vista superiore, e risolti con tecniche migliori. Ora le lezioni sono
appunto lo strumento fondamentale per questa crescita delle conoscenze,
evitando il proliferare di carta stampata per scrivere soluzioni naif
che poi si abbandoneranno andando avanti.
Infine, gli esercizi non risolti sono l'occasione di dialogo e di
interazione: quando non si riesce a fare un esercizio, ci si puo` presentare
a ricevimento con il proprio tentativo di soluzione, e chiedere conferme o
suggerimenti...

[Sk_Anonymous]

Mi fai la predica perché ho guardato la soluzione di un esercizio?
Queste parole le ho già sentite parecchie volte e le trovo assolutamente ragionevoli, mica lo nego.

[killing_buddha]

Ma che predica, volevo solo dire che ci sono passato anche io

[Sk_Anonymous]

Bhé sì, questo lo immaginavo (che ci sei passato anche tu)...