Lemma di Zorn e cardinalità.

[arimira]

Salve ragazzi/e!
Secondo voi, come posso dimostrare, usando il Lemma di Zorn, che se uno spazio vettoriale V su K ha base più che numerabile, allora K ha cardinalità più che numerabile?
grazie!

[Studente Anonimo]

[mod="Martino"]Ciao arimira, benvenuto/a nel forum. Sei pregato/a di inserire un titolo che specifichi l'argomento, come da regolamento (articolo 3.3). Grazie.[/mod]

[arimira]

Vogliatemi perdonare.

[Studente Anonimo]

[mod="Martino"]Perdonami, forse non sono stato troppo chiaro. Devi cliccare sul tasto "modifica" nel tuo primo intervento, modificare il titolo quindi cliccare su "invia".[/mod]

[arimira]

Fatto!!! Ed ora, sperando in una risposta

[maurer]

Ma sei sicura che l'enunciato sia corretto?

Stavo pensando... le funzioni da [tex]\mathbb{R}[/tex] in [tex]\mathbb{R}[/tex] formano uno spazio vettoriale su [tex]\mathbb{Q}[/tex]. Tuttavia una base di questo spazio è un insieme di generatori dello stesso spazio pensato come spazio vettoriale su [tex]\mathbb{R}[/tex]. Quindi la cardinalità di una base di [tex]\mathbb{R}^\mathbb{R}[/tex] su [tex]\mathbb{Q}[/tex] ha cardinalità maggiore di una base dello stesso spazio pensato su [tex]\mathbb{R}[/tex].
Ora, le basi di [tex]\mathbb{R}^\mathbb{R}[/tex] su [tex]\mathbb{R}[/tex] hanno cardinalità maggiore del numerabile (*) e pertanto tali sono anche le basi su [tex]\mathbb{Q}[/tex]. Tuttavia, [tex]\mathbb{Q}[/tex] ha cardinalità del numerabile.

(*) Infatti, consideriamo per ogni [tex]a \in \mathbb{R}[/tex] la funzione

[tex]f_a(x) = \left\{\begin{matrix} 1 \mbox{ se }x = a \\ 0 \mbox{ se } x \ne a \end{matrix}\right.[/tex]
Ovviamente queste funzioni sono linearmente indipendenti e la loro cardinalità supera il numerabile. Pertanto una base dovrà avere cardinalità maggiore del numerabile.

[arimira]

Non ci crederai, ma è quello a cui stavo pensando io. Però, forse c'entra poco, è pur vero che se esiste una base di cardinalità più che numerabile, allora per generare lo spazio vettoriale, servono delle combinazioni lineari (che sono da considerarsi però finite) di elementi della base. Queste combinazioni, credo, sono un'infinità numerabile. Lo spazio vettoriale di partenza ha cardinalità più che numerabile. Non si può concludere che necessariamente il campo deve avere cardinalità più che numerabile? {perdona la mia ignoranza in materia. Questa è la primissima volta che mi cimento con queste cose}.

[maurer]

"arimira":[...] Queste combinazioni, credo, sono un'infinità numerabile. [...]

Questa tua supposizione è sbagliata. Supponiamo che [tex]\{v_i\}_{i\in I}[/tex] sia una base più che numerabile. Solo per ottenere tutti i vettori della base devi considerare un'infinità più che numerabile di combinazioni lineari.

E poi il mio controesempio mi sembra giusto.

Piuttosto, il tuo ragionamento si adatterebbe a dimostrare questo: "Sia [tex]V[/tex] uno spazio vettoriale con cardinalità più che numerabile dotato di una base numerabile. Allora il campo base ha cardinalità più che numerabile".
Situazioni di questo tipo esistono (basta pensare allo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali [tex]\mathbb{R}[X][/tex]). Non è che per caso dovevi dimostrare quello di enunciato?

[arimira]

Ti assicuro che l'enunciato è giusto! Ci sto lavorando, forse è la volta buona! Grazie,comunque! Semmai dovessi arrivare ad un risultato, ti farò partecipe! Grazie

[dissonance]

Il controesempio di maurer mi convince. Un altro, più involuto, è [tex]\mathbb{R}[/tex] visto come [tex]\mathbb{Q}[/tex] spazio vettoriale. Dall'assioma della scelta esso ha una base; da considerazioni di cardinalità (infarcite di assioma della scelta) la base non può essere numerabile; se fosse vera la proposizione [tex]\mathbb{Q}[/tex] non sarebbe numerabile.