La curva $y^2 - x^3 =0$ non è una sottovarietà dii $\mathbb{R}^2$
Vorrei provare a dimostrare che la curva $y^2 -x^2=0$ non ammette una struttura di sottovarietà differenziabile nel piano. Non ho ben chiaro come fare, solo qualche idea e qualche consiglio.
Anzitutto, non ho ben capito quanto sia importante il fatto di cercare di montare sulla curva una struttura di sottovarietà di $\mathbb{R}^2$ e non di varietà a sé stante. Cosa cambia, e se nel secondo caso tale struttura esiste, come la trovo?
Visto che voglio una sottovarietà mi scrivo la curva come luogo di zeri di una certa funzione da $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}$. A questo punto i miei appunti si fanno poco chiari. A quanto ho capito, si mostra in qualche modo che in $(0,0)$ entrambe le derivate parziali sono nulle, e da qui vorrei dedurre che una struttura di sottovarietà non è possibile.
Mi sembra che il professore usò in qualche modo il teorema della funzione implicita, ma non riesco proprio a capire come. Cioè, proprio non capisco dove stia il problema. Perchè la curva non può essere il luogo di zeri di una funzione differenziabile se nell'origine tutte le funzioni siffatte hanno gradiente nullo?
Ho provato anche a chiedere qui https://math.stackexchange.com/questions/2400631/the-curve-y2-x3-0-isnt-a-differential-manifold-of-mathbbr2?noredirect=1#comment4956723_2400631, ma non ho ben chiaro nemmeno questo modo di procedere.
Grazie in anticipo dell'aiuto!
Anzitutto, non ho ben capito quanto sia importante il fatto di cercare di montare sulla curva una struttura di sottovarietà di $\mathbb{R}^2$ e non di varietà a sé stante. Cosa cambia, e se nel secondo caso tale struttura esiste, come la trovo?
Visto che voglio una sottovarietà mi scrivo la curva come luogo di zeri di una certa funzione da $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}$. A questo punto i miei appunti si fanno poco chiari. A quanto ho capito, si mostra in qualche modo che in $(0,0)$ entrambe le derivate parziali sono nulle, e da qui vorrei dedurre che una struttura di sottovarietà non è possibile.
Mi sembra che il professore usò in qualche modo il teorema della funzione implicita, ma non riesco proprio a capire come. Cioè, proprio non capisco dove stia il problema. Perchè la curva non può essere il luogo di zeri di una funzione differenziabile se nell'origine tutte le funzioni siffatte hanno gradiente nullo?
Ho provato anche a chiedere qui https://math.stackexchange.com/questions/2400631/the-curve-y2-x3-0-isnt-a-differential-manifold-of-mathbbr2?noredirect=1#comment4956723_2400631, ma non ho ben chiaro nemmeno questo modo di procedere.
Grazie in anticipo dell'aiuto!
Risposte
"tommy1996q":...a presto.
@j18eos ... Se non esiste un diffeomorfismo nelle usuali coordinate, di certo non ce ne sono in nessun altro sistema di coordinate equivalente, perché il cambio di carte è un diffeomorfismo!
Sì, la tua idea funziona; però quello che trasporti su \(\gamma\) mediante un omeomorfismo, o comunque mediante una funzione biettiva qualunque, è la struttura di varietà differenziabile di \(\mathbb{R}\)!
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