Kernel e immagine
Volevo farvi alcune domande.
1) Se prendo una matrice A, e' vero che il kernel di A è perpendicolare all'immagine di A trasposta e il kernel di A trasposta è perpendicolare all'immagine di A?
2) Una matrice identità ha il kernel vuoto?
3) Se A è non singolare e quadrata e applico la relazione y=Ax, ho un'affermazione giusta se dico che y è l'immagine di A del vettore x?
1) Se prendo una matrice A, e' vero che il kernel di A è perpendicolare all'immagine di A trasposta e il kernel di A trasposta è perpendicolare all'immagine di A?
2) Una matrice identità ha il kernel vuoto?
3) Se A è non singolare e quadrata e applico la relazione y=Ax, ho un'affermazione giusta se dico che y è l'immagine di A del vettore x?
Risposte
1) cosa intendi precisamente per matrici perperdicolari?
2) il nucleo non e' mai vuoto! esso e' un sottospazio vettoriale dello spazio di partenza, pertanto contiene il vettore nullo.
effettivamente il vettore nullo e' l'unico elemento del nucleo dell'identita'.
3) si e' un'interpretazione corretta, con le dovute precisazioni.
ciao
2) il nucleo non e' mai vuoto! esso e' un sottospazio vettoriale dello spazio di partenza, pertanto contiene il vettore nullo.
effettivamente il vettore nullo e' l'unico elemento del nucleo dell'identita'.
3) si e' un'interpretazione corretta, con le dovute precisazioni.
ciao
1) Ho sbagliato termine: per perpendicolare volevo dire proiezione ortogonale 
2) Dunque il kernel della matrice identità o di qualsiasi matrice diagonale contiene solo il vettore nullo?
Ti ringrazio per le risposte
2) Dunque il kernel della matrice identità o di qualsiasi matrice diagonale contiene solo il vettore nullo?
Ti ringrazio per le risposte
1) perpendicolare, proiezione ortogonale, ... presuppongono che esista un prodotto scalare sullo spazio
vettoriale delle matrici, descrivi a quale prodotto scalare ti riferisci.
2) esatto. piu' in generale il nucleo di una matrice invertibile contiene solo il vettore nullo. piu' ingenerale
ogni applicazione lineare iniettiva (le matrici invertibili lo sono e sono le uniche se quadrate) ha nucleo
contenente solo il vettore nullo e viceversa.
ciao
vettoriale delle matrici, descrivi a quale prodotto scalare ti riferisci.
2) esatto. piu' in generale il nucleo di una matrice invertibile contiene solo il vettore nullo. piu' ingenerale
ogni applicazione lineare iniettiva (le matrici invertibili lo sono e sono le uniche se quadrate) ha nucleo
contenente solo il vettore nullo e viceversa.
ciao
Al punto 1) non si parlava di ortogonalità fra matrici, ma fra ker di una matrice e immagine. Presuppongo che il prodotto scalare considerato sia quello canonico in $\mathbb{R}^n$.
vabbuono.. Tipper ha ragione. Dunque pensa ad esempio ad una matrice simmetrica.. ad esempio ad una matrice ortogonale (che effettua delle rotazioni conservando la dimensione). ebbene che cosa sono ker A e im A?
ciao
ciao
Per tipper: sì, il prodotto scalare considerato è quello canonico in ℝn.
Per Pappus: cosa sono ker A e im A?
Per Pappus: cosa sono ker A e im A?
scusa Caroncino, questo pomeriggio non avevo inteso bene la tua domanda.
Ebbene la risposta alla prima domando è si:
sia $w\in ker A$, cioè $Aw=0$. Vuoi verificare se effettivamente
$ =0$ , cioè se sono ortogonali. (t indica la trasposta)
Allora se ti ricordi che la matrice associata al prodotto scalare standard è l'identità, hai che
$ =t( t(A)v) w=(t(v)A)w=t(v)0=0$.
Sei d'accordo?
ciao
Ebbene la risposta alla prima domando è si:
sia $w\in ker A$, cioè $Aw=0$. Vuoi verificare se effettivamente
$
Allora se ti ricordi che la matrice associata al prodotto scalare standard è l'identità, hai che
$
Sei d'accordo?
ciao
Ok, grazie
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