Kerf e immagine
Data questa applicazione $f:R^(3)->R^(2)$ $(x,y,z)->(x+3y-2z,-2x+ky+3z)$ poi passo alla matrice associata che una volta messa a gradini viene $((1,3,-2),(0,k+6,-1))$ però il rango è uguale a 2 sia per $k=-6$ sia per $k=0$..
Risposte
La domanda è ricavare kerf e imf?
"Davi90":
La domanda è ricavare kerf e imf?
si!
Allora la matrice è giusta ma non capisco perché metti $k=0$.
Se $k=-6$ allora $ | ( 1 , 3 ),( 0 , k+6 ) |=0 $ ma $ | ( 3 , -2 ),( k+6 , -1 ) |!= 0 $
Se $k=-9/2$ allora abbiamo il risultato opposto del caso precedente (si annulla il secondo determinante mentre il primo no)
Quindi in ogni caso il rango dell'immagine è sempre 2 per ogni $k\in\mathbb{R}$. Questo ti dice che $Im(f)=\mathbb{R}^2$ per ogni $k$ reale.
Il nucleo ha quindi dimensione 1 per il teorema di nullità!
Per trovare le terne che stanno nel nucleo basta che risolvi il sistema lineare $ { ( x+3y-2z=0 ),( (k+6)y-z=0 ):} $
ottenuto prendendo la matrice dei coefficienti e affiancandola con quella dei coeff noti (in questo caso tutti 0 visto che cerchiamo il nucleo).
Riduci la matrice e ottieni esattamente quella di prima quindi ti basta risolvere $ { ( x+3y-2z=0 ),( (k+6)y-z=0 ):} $ e dovresti ottenere $ { ( x=(2k+9)y ),( z=(k+6)y ):} $. Allora $ker(f)={(\ (2k+9)y,y,(k+6)y\ )$ tale che $ y\in\mathbb{R}}$.
Se $k=-6$ allora $ | ( 1 , 3 ),( 0 , k+6 ) |=0 $ ma $ | ( 3 , -2 ),( k+6 , -1 ) |!= 0 $
Se $k=-9/2$ allora abbiamo il risultato opposto del caso precedente (si annulla il secondo determinante mentre il primo no)
Quindi in ogni caso il rango dell'immagine è sempre 2 per ogni $k\in\mathbb{R}$. Questo ti dice che $Im(f)=\mathbb{R}^2$ per ogni $k$ reale.
Il nucleo ha quindi dimensione 1 per il teorema di nullità!
Per trovare le terne che stanno nel nucleo basta che risolvi il sistema lineare $ { ( x+3y-2z=0 ),( (k+6)y-z=0 ):} $
ottenuto prendendo la matrice dei coefficienti e affiancandola con quella dei coeff noti (in questo caso tutti 0 visto che cerchiamo il nucleo).
Riduci la matrice e ottieni esattamente quella di prima quindi ti basta risolvere $ { ( x+3y-2z=0 ),( (k+6)y-z=0 ):} $ e dovresti ottenere $ { ( x=(2k+9)y ),( z=(k+6)y ):} $. Allora $ker(f)={(\ (2k+9)y,y,(k+6)y\ )$ tale che $ y\in\mathbb{R}}$.
"Davi90":
Allora la matrice è giusta ma non capisco perché metti $k=0$.
Se $k=-6$ allora $ | ( 1 , 3 ),( 0 , k+6 ) |=0 $ ma $ | ( 3 , -2 ),( k+6 , -1 ) |!= 0 $
Se $k=-9/2$ allora abbiamo il risultato opposto del caso precedente (si annulla il secondo determinante mentre il primo no)
Quindi in ogni caso il rango dell'immagine è sempre 2 per ogni $k\in\mathbb{R}$. Questo ti dice che $Im(f)=\mathbb{R}^2$ per ogni $k$ reale.
Il nucleo ha quindi dimensione 1 per il teorema di nullità!
Per trovare le terne che stanno nel nucleo basta che risolvi il sistema lineare $ { ( x+3y-2z=0 ),( (k+6)y-z=0 ):} $
ottenuto prendendo la matrice dei coefficienti e affiancandola con quella dei coeff noti (in questo caso tutti 0 visto che cerchiamo il nucleo).
Riduci la matrice e ottieni esattamente quella di prima quindi ti basta risolvere $ { ( x+3y-2z=0 ),( (k+6)y-z=0 ):} $ e dovresti ottenere $ { ( x=(2k+9)y ),( z=(k+6)y ):} $. Allora $ker(f)={(\ (2k+9)y,y,(k+6)y\ )$ tale che $ y\in\mathbb{R}}$.
Allora ho capito che per ogni $k$ il rango è sempre due quindi l'immagine avrà sempre dimensione 2 e il kerf 1. In particolare nel caso $k=-6$ la matrice assume questa forma $((1,3,-2),(-2,-6,3))$ a gradini diventa $((1,3,-2),(0,0,1))$ quindi le incognite dominanti sono $x$ e $z$ quindi una base per il kerf è $(-3,1,0)$, mentre una base per l'immagine sono i vettori della prima e terza colonna quindi $(1,-2),(-2,3)$. però non riesco a fare l'altro caso....
Lo fai esattamente come hai fatto il primo. Perché dovrebbe causarti problemi?
Nel caso in cui $k=-9/2$ avrò che il $ker(f)=<(0,1,3/2)>$.
E siccome la matrice verrà così \( \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 \\ 0 & \frac{3}{2} & -1 \end{pmatrix} \),
e il determinante tra le ultime 2 colonne è 0 vorrà dire che le coppie linearmente indipendenti nella matrice sono le prime due colonne o la prima e l'ultima. Quindi $Im(f)=<(1,0),(3,\frac{3}{2})>$.
Nel caso in cui $k=-9/2$ avrò che il $ker(f)=<(0,1,3/2)>$.
E siccome la matrice verrà così \( \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 \\ 0 & \frac{3}{2} & -1 \end{pmatrix} \),
e il determinante tra le ultime 2 colonne è 0 vorrà dire che le coppie linearmente indipendenti nella matrice sono le prime due colonne o la prima e l'ultima. Quindi $Im(f)=<(1,0),(3,\frac{3}{2})>$.
"Davi90":
Lo fai esattamente come hai fatto il primo. Perché dovrebbe causarti problemi?
Nel caso in cui $k=-9/2$ avrò che il $ker(f)=<(0,1,3/2)>$.
E siccome la matrice verrà così \( \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 \\ 0 & \frac{3}{2} & -1 \end{pmatrix} \),
e il determinante tra le ultime 2 colonne è 0 vorrà dire che le coppie linearmente indipendenti nella matrice sono le prime due colonne o la prima e l'ultima. Quindi $Im(f)=<(1,0),(3,\frac{3}{2})>$.
Ma perchè $k=-9/2$ ?
$-9/2$ è il caso in cui il secondo determinante è nullo. Lo facevo visto che sembrava che volessi discutere per forza quei valori in cui i due determinanti che coinvolgono $k$ si annullano. Tu hai discusso il caso $k=-6$ ma non so perché lo hai fatto. Io lo facevo per esplicitarti le basi in quei casi.
Dal mio punto di vista $ker(f)=<(2k+9,1,k+6)>$ per ogni $k$ (se non ho fatto male i conti prima)
Mentre $Im(f)=<(1,0),(-2,-1)>$. (ho preso i vettori della matrice linearmente indipendenti per ogni $k$).
Cosa non capisci?
Dal mio punto di vista $ker(f)=<(2k+9,1,k+6)>$ per ogni $k$ (se non ho fatto male i conti prima)
Mentre $Im(f)=<(1,0),(-2,-1)>$. (ho preso i vettori della matrice linearmente indipendenti per ogni $k$).
Cosa non capisci?
"Davi90":
$-9/2$ è il caso in cui il secondo determinante è nullo. Lo facevo visto che sembrava che volessi discutere per forza quei valori in cui i due determinanti che coinvolgono $k$ si annullano. Tu hai discusso il caso $k=-6$ ma non so perché lo hai fatto. Io lo facevo per esplicitarti le basi in quei casi.
Dal mio punto di vista $ker(f)=<(2k+9,1,k+6)>$ per ogni $k$ (se non ho fatto male i conti prima)
Mentre $Im(f)=<(1,0),(-2,-1)>$. (ho preso i vettori della matrice linearmente indipendenti per ogni $k$).
Cosa non capisci?
Oggi l'abbiamo rivisto a lezione e abbiamo detto che rango è sempre 2 quindi dimimf=2, dimkerf=1; quindi se $k=-6$ una base dell'immagine è $(1,-2),(-2,3)$ e per il kerf è $(-3,1,9)$, quindi al variare di k varia solo l'incognita dominante, quindi una base per l'immagine rimane la stessa, quindi nel caso $k≠-6$ una base per il kerf è $((2k+9)/(k+6),1/(k+6),1)$
Si che è quello che dicevamo. Semplicemente la base del ker(f) è stata presa dividendo per $k+6$ se $k\ne0$.
La base dell'immagine va bene anche quella che avevo detto perché deriva dalla riduzione della matrice iniziale. Il tuo prof ha preso i vettori che avevi nella matrice prima di ridurla.
La base dell'immagine va bene anche quella che avevo detto perché deriva dalla riduzione della matrice iniziale. Il tuo prof ha preso i vettori che avevi nella matrice prima di ridurla.
"Davi90":
Si che è quello che dicevamo. Semplicemente la base del ker(f) è stata presa dividendo per $k+6$ se $k\ne0$.
La base dell'immagine va bene anche quella che avevo detto perché deriva dalla riduzione della matrice iniziale. Il tuo prof ha preso i vettori che avevi nella matrice prima di ridurla.
Si ha preso dei vettori colonna indipendenti, ovviamente col k sostituito, ma quindi la base dell'immagine rimane sempre quella ?
Allora il concetto è che nella matrice iniziale che hai costruito (non quella ridotta tramite Gauss) ci sono due vettori linearmente indipendenti (il loro determinante è diverso da 0) tra di loro e che non coinvolgono k.
La matrice iniziale era \( \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 \\ -2 & k & 3 \end{pmatrix} \).
Ora nota che la prima e la terza colonna sono due vettori linearmente indipendenti perché \( \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 3 \end{vmatrix} \) $\ne0$.
Quindi questo mi porta a dire che il rango della matrice è 2 qualsiasi sia la scelta di $k\in\mathbb{R}$.
Poi il nucleo si trova come lo abbiamo fatto prima senza stare a discutere $k$. Ker(f)=$<2k+9,1,k+6>$, quindi una base del nucleo è ${(2k+9,1,k+6)}$. Ogni volta che fissi k hai una base di quel particolare nucleo.
Dimmi se hai capito oppure spiegami meglio cosa ti turba.
La matrice iniziale era \( \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 \\ -2 & k & 3 \end{pmatrix} \).
Ora nota che la prima e la terza colonna sono due vettori linearmente indipendenti perché \( \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 3 \end{vmatrix} \) $\ne0$.
Quindi questo mi porta a dire che il rango della matrice è 2 qualsiasi sia la scelta di $k\in\mathbb{R}$.
Poi il nucleo si trova come lo abbiamo fatto prima senza stare a discutere $k$. Ker(f)=$<2k+9,1,k+6>$, quindi una base del nucleo è ${(2k+9,1,k+6)}$. Ogni volta che fissi k hai una base di quel particolare nucleo.
Dimmi se hai capito oppure spiegami meglio cosa ti turba.
"Davi90":
Allora il concetto è che nella matrice iniziale che hai costruito (non quella ridotta tramite Gauss) ci sono due vettori linearmente indipendenti (il loro determinante è diverso da 0) tra di loro e che non coinvolgono k.
La matrice iniziale era \( \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 \\ -2 & k & 3 \end{pmatrix} \).
Ora nota che la prima e la terza colonna sono due vettori linearmente indipendenti perché \( \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 3 \end{vmatrix} \) $\ne0$.
Quindi questo mi porta a dire che il rango della matrice è 2 qualsiasi sia la scelta di $k\in\mathbb{R}$.
Poi il nucleo si trova come lo abbiamo fatto prima senza stare a discutere $k$. Ker(f)=$<2k+9,1,k+6>$, quindi una base del nucleo è ${(2k+9,1,k+6)}$. Ogni volta che fissi k hai una base di quel particolare nucleo.
Dimmi se hai capito oppure spiegami meglio cosa ti turba.
Sisi, ho capito, però dato che la dimensione dell'immagine rimane la stessa, non devo riscegliere un'altra base, oppure si?
No non la devi scegliere. Ho preso due vettori che generano l'immagine, lin ind e che non dipendono da k!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo