Jacobiano parametrizzazione palla
Ciao, amici! Leggo che la funzione \(\varphi:\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\times\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{n+1}\) definita da $$\varphi(\theta_1,\ldots,\theta_n,r)=\left(r\prod_{k=1}^n\cos\theta_k,r\sin\theta_n\prod_{k=1}^{n-1}\cos\theta_k, r\sin\theta_{n-1}\prod_{k=1}^{n-2}\cos\theta_k,\ldots ,r\sin\theta_1\right)$$ ha lo jacobiano sempre non nullo.
Ho calcolato tale matrice come $$\begin{pmatrix}\prod_k\cos\theta_k & -r\sin\theta_1\prod_{k\ne 1}\cos\theta_k &\ldots& -r\sin\theta_n\prod_{k\ne n}\cos\theta_k\\\sin\theta_n\prod_{k=1}\cos\theta_k& -r\cos\theta_1\sin\theta_n\prod_{k
Ho calcolato tale matrice come $$\begin{pmatrix}\prod_k\cos\theta_k & -r\sin\theta_1\prod_{k\ne 1}\cos\theta_k &\ldots& -r\sin\theta_n\prod_{k\ne n}\cos\theta_k\\\sin\theta_n\prod_{k=1}\cos\theta_k& -r\cos\theta_1\sin\theta_n\prod_{k
Risposte
A occhio mi viene in mente il metodo di Laplace.
Grazie, dan95, per il suggerimento! Di che metodo si tratta?
[url=https://www.google.it/url?sa=t&source=web&rct=j&url=https://it.m.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Laplace]Teorema di Laplace[/url]
Scusa, sì, naturalmente conosco lo sviluppo di Laplace ed è quello che ho usato per calcolare il determinante per $n=2$, ma non sono riuscito ad applicarlo per una matrice di ordine generico $n$...
L'idea è quella di usare l'ipotesi induttiva per calcolare il determinante delle ridotte, ma questa mi pare una via troppo complicata, quindi conviene ragionare sulle colonne vedere semplicemente se sono linearmente independenti, anche per induzione volendo.
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