Isomorfismo tra spazi proiettivi

[squalllionheart]

Salve, ho questa questione da verificare:

Siano $V$ e $V'$ due spazi vettoriali isomorfi allora esiste un isomorfismo, in questo caso una proiettività, tra $P(V)$ e $P(V')$.

Allora partendo dal fatto che le mie riminiscenze di algebra sono quelle che sono nn ricordo bene se per avere un isomorfismo bastasse un morfismo iniettivo che mandasse il neutro nel neutro ovviamente nel campo degli anelli e gruppi.
Con spazi proiettivi e vettoriali in genere non l'ho mai fatto questo tipo di lavoro. Possiamo vedere qualche esempio da essermi utile per dimostrare l'asserto.
Grazie.

[Dorian1]

"squalllionheart":Allora partendo dal fatto che le mie riminiscenze di algebra sono quelle che sono nn ricordo bene se per avere un isomorfismo bastasse un morfismo iniettivo che mandasse il neutro nel neutro ovviamente nel campo degli anelli e gruppi.

Questo vale quando i due spazi hanno la stessa dimensione.

[squalllionheart]

Caro dorian, spero che il tuo nick sia stato tratto dal delizioso romanzo ononimo, che ho amanto in gioventù.
Cmq a quanto pare, stranamente il ricordo non era erroneo
Grazie per la infinita disponibilità. Un bacio Mari.

[Dorian1]

"squalllionheart":Caro dorian, spero che il tuo nick sia stato tratto dal delizioso romanzo ononimo, che ho amanto in gioventù.

Se parliamo de "Il ritratto di Dorian Gray", hai colto nel segno. Ma non è l'unico motivo. Diciamo che il mio nick è denso di significati...

"squalllionheart":Cmq a quanto pare, stranamente il ricordo non era erroneo
Grazie per la infinita disponibilità. Un bacio Mari.

Permettimi una domanda. Cosa intendi con isomorfi?

[squalllionheart]

Applicazione biunivoca

[Dorian1]

Allora non avevo capito il tuo problema... Devi mostrare l'esistenza di una proiettività tra i 2 spazi proiettivi (non posso usare le tue notazioni perchè non riesco a visualizzare le formule...). Se i vettoriali associati sono isomorfi, allora esiste $phi$ isomorfismo. La proiettività $f$ che vai cercando è quella che ha $phi$ come soprastante

Sto dicendo che:

$f$ : $P(V_1)->P(V_2)$ associa all'elemento proiettivo $sigma(W)$ l'elemento $sigma(phi(W))$ (ove $W$ è sottospazio di $V_1$)

Si tratta quindi di dimostrare iniettività e suriettività di $f$ (basta farlo sui punti del proiettivo...) che è quasi cosa ovvia...